Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem27 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem27 36465
 Description: Lemma for mapdpg 36472. Baer p. 45 line 16: "v(x'-y'') = x'-y'" (with equality swapped). (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpg.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s = (-g𝑈)
mapdpg.z 0 = (0g𝑈)
mapdpg.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpg.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpg.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpg.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1 (𝜑 → (𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)}))))
mapdpgem25.i1 (𝜑 → (𝑖𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem26.o 𝑂 = (0g𝐴)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem27 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})(𝐺𝑅) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
Distinct variable groups:   ,𝑖,𝑣   𝑣,𝐵   𝑣,𝐶   𝑣,𝑂   𝑣, ·   𝑣,𝐺   𝑣,𝑅   𝜑,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐴(𝑣,,𝑖)   𝐵(,𝑖)   𝐶(,𝑖)   𝑅(,𝑖)   · (,𝑖)   𝑈(𝑣,,𝑖)   𝐹(𝑣,,𝑖)   𝐺(,𝑖)   𝐻(𝑣,,𝑖)   𝐽(𝑣,,𝑖)   𝐾(𝑣,,𝑖)   𝑀(𝑣,,𝑖)   (𝑣,,𝑖)   𝑁(𝑣,,𝑖)   𝑂(,𝑖)   𝑉(𝑣,,𝑖)   𝑊(𝑣,,𝑖)   𝑋(𝑣,,𝑖)   𝑌(𝑣,,𝑖)   0 (𝑣,,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem27
StepHypRef Expression
1 mapdpg.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdpg.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdpg.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdpg.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 mapdpg.s . . . 4 = (-g𝑈)
6 mapdpg.z . . . 4 0 = (0g𝑈)
7 mapdpg.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 mapdpg.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9 mapdpg.f . . . 4 𝐹 = (Base‘𝐶)
10 mapdpg.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
11 mapdpg.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdpg.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 mapdpg.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14 mapdpg.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15 mapdpg.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
16 mapdpg.ne . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
17 mapdpg.e . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
18 mapdpgem25.h1 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)}))))
19 mapdpgem25.i1 . . . 4 (𝜑 → (𝑖𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19mapdpglem25 36463 . . 3 (𝜑 → ((𝐽‘{}) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝐽‘{(𝐺𝑅)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))
2120simprd 479 . 2 (𝜑 → (𝐽‘{(𝐺𝑅)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))
22 eqid 2621 . . . 4 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
23 eqid 2621 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
24 eqid 2621 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
25 mapdpglem26.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝐶)
261, 8, 12lcdlvec 36357 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
271, 8, 12lcdlmod 36358 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
2818simpld 475 . . . . 5 (𝜑𝐹)
299, 10lmodvsubcl 18829 . . . . 5 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝐹) → (𝐺𝑅) ∈ 𝐹)
3027, 15, 28, 29syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑅) ∈ 𝐹)
3119simpld 475 . . . . 5 (𝜑𝑖𝐹)
329, 10lmodvsubcl 18829 . . . . 5 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑖𝐹) → (𝐺𝑅𝑖) ∈ 𝐹)
3327, 15, 31, 32syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑅𝑖) ∈ 𝐹)
349, 22, 23, 24, 25, 11, 26, 30, 33lspsneq 19041 . . 3 (𝜑 → ((𝐽‘{(𝐺𝑅)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}) ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))})(𝐺𝑅) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖))))
35 mapdpglem26.a . . . . . 6 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
36 mapdpglem26.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
371, 3, 35, 36, 8, 22, 23, 12lcdsbase 36366 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
38 mapdpglem26.o . . . . . . 7 𝑂 = (0g𝐴)
391, 3, 35, 38, 8, 22, 24, 12lcd0 36374 . . . . . 6 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 𝑂)
4039sneqd 4160 . . . . 5 (𝜑 → {(0g‘(Scalar‘𝐶))} = {𝑂})
4137, 40difeq12d 3707 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))}) = (𝐵 ∖ {𝑂}))
4241rexeqdv 3134 . . 3 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐶)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐶))})(𝐺𝑅) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})(𝐺𝑅) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖))))
4334, 42bitrd 268 . 2 (𝜑 → ((𝐽‘{(𝐺𝑅)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})(𝐺𝑅) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖))))
4421, 43mpbid 222 1 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝐵 ∖ {𝑂})(𝐺𝑅) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃wrex 2908   ∖ cdif 3552  {csn 4148  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  0gc0g 16021  -gcsg 17345  LModclmod 18784  LSpanclspn 18890  HLchlt 34114  LHypclh 34747  DVecHcdvh 35844  LCDualclcd 36352  mapdcmpd 36390 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-riotaBAD 33716 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-undef 7344  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-0g 16023  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-oppg 17697  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022  df-lsatoms 33740  df-lshyp 33741  df-lcv 33783  df-lfl 33822  df-lkr 33850  df-ldual 33888  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-llines 34261  df-lplanes 34262  df-lvols 34263  df-lines 34264  df-psubsp 34266  df-pmap 34267  df-padd 34559  df-lhyp 34751  df-laut 34752  df-ldil 34867  df-ltrn 34868  df-trl 34923  df-tgrp 35508  df-tendo 35520  df-edring 35522  df-dveca 35768  df-disoa 35795  df-dvech 35845  df-dib 35905  df-dic 35939  df-dih 35995  df-doch 36114  df-djh 36161  df-lcdual 36353 This theorem is referenced by:  mapdpglem32  36471
 Copyright terms: Public domain W3C validator