Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem31 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem31 36469
Description: Lemma for mapdpg 36472. Baer p. 45 line 19: "...and we have consequently that y' = y'', as we claimed." (Contributed by NM, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpg.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s = (-g𝑈)
mapdpg.z 0 = (0g𝑈)
mapdpg.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpg.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpg.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpg.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1 (𝜑 → (𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)}))))
mapdpgem25.i1 (𝜑 → (𝑖𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem26.o 𝑂 = (0g𝐴)
mapdpglem28.ve (𝜑𝑣𝐵)
mapdpglem28.u1 (𝜑 = (𝑢 · 𝑖))
mapdpglem28.u2 (𝜑 → (𝐺𝑅) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
mapdpglem28.ue (𝜑𝑢𝐵)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem31 (𝜑 = 𝑖)
Distinct variable groups:   ,𝑖,𝑢,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣   𝑢,𝐶,𝑣   𝑢,𝑂,𝑣   𝑢, · ,𝑣   𝑣,𝐺   𝑣,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐴(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐵(,𝑖)   𝐶(,𝑖)   𝑅(𝑢,,𝑖)   · (,𝑖)   𝑈(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐹(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐺(𝑢,,𝑖)   𝐻(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐽(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑀(𝑣,𝑢,,𝑖)   (𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑁(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑂(,𝑖)   𝑉(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑊(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑋(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑌(𝑣,𝑢,,𝑖)   0 (𝑣,𝑢,,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem31
StepHypRef Expression
1 mapdpglem28.u1 . 2 (𝜑 = (𝑢 · 𝑖))
2 mapdpg.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdpg.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdpglem26.a . . . . 5 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
5 eqid 2621 . . . . 5 (1r𝐴) = (1r𝐴)
6 mapdpg.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2621 . . . . 5 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
8 eqid 2621 . . . . 5 (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
9 mapdpg.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lcd1 36375 . . . 4 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r𝐴))
1110oveq1d 6619 . . 3 (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝑖) = ((1r𝐴) · 𝑖))
122, 6, 9lcdlmod 36358 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
13 mapdpgem25.i1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
1413simpld 475 . . . 4 (𝜑𝑖𝐹)
15 mapdpg.f . . . . 5 𝐹 = (Base‘𝐶)
16 mapdpglem26.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐶)
1715, 7, 16, 8lmodvs1 18812 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑖𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝑖) = 𝑖)
1812, 14, 17syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝑖) = 𝑖)
19 mapdpg.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
20 mapdpg.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
21 mapdpg.s . . . . . 6 = (-g𝑈)
22 mapdpg.z . . . . . 6 0 = (0g𝑈)
23 mapdpg.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
24 mapdpg.r . . . . . 6 𝑅 = (-g𝐶)
25 mapdpg.j . . . . . 6 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
26 mapdpg.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
27 mapdpg.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
28 mapdpg.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
29 mapdpg.ne . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
30 mapdpg.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
31 mapdpgem25.h1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)}))))
32 mapdpglem26.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
33 mapdpglem26.o . . . . . 6 𝑂 = (0g𝐴)
34 mapdpglem28.ve . . . . . 6 (𝜑𝑣𝐵)
35 mapdpglem28.u2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝑅) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
36 mapdpglem28.ue . . . . . 6 (𝜑𝑢𝐵)
372, 19, 3, 20, 21, 22, 23, 6, 15, 24, 25, 9, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 13, 4, 32, 16, 33, 34, 1, 35, 36mapdpglem30 36468 . . . . 5 (𝜑 → (𝑣 = (1r𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢))
38 eqtr2 2641 . . . . 5 ((𝑣 = (1r𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢) → (1r𝐴) = 𝑢)
3937, 38syl 17 . . . 4 (𝜑 → (1r𝐴) = 𝑢)
4039oveq1d 6619 . . 3 (𝜑 → ((1r𝐴) · 𝑖) = (𝑢 · 𝑖))
4111, 18, 403eqtr3rd 2664 . 2 (𝜑 → (𝑢 · 𝑖) = 𝑖)
421, 41eqtrd 2655 1 (𝜑 = 𝑖)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3552  {csn 4148  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  0gc0g 16021  -gcsg 17345  1rcur 18422  LModclmod 18784  LSpanclspn 18890  HLchlt 34114  LHypclh 34747  DVecHcdvh 35844  LCDualclcd 36352  mapdcmpd 36390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-riotaBAD 33716
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-undef 7344  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-0g 16023  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-oppg 17697  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022  df-lsatoms 33740  df-lshyp 33741  df-lcv 33783  df-lfl 33822  df-lkr 33850  df-ldual 33888  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-llines 34261  df-lplanes 34262  df-lvols 34263  df-lines 34264  df-psubsp 34266  df-pmap 34267  df-padd 34559  df-lhyp 34751  df-laut 34752  df-ldil 34867  df-ltrn 34868  df-trl 34923  df-tgrp 35508  df-tendo 35520  df-edring 35522  df-dveca 35768  df-disoa 35795  df-dvech 35845  df-dib 35905  df-dic 35939  df-dih 35995  df-doch 36114  df-djh 36161  df-lcdual 36353  df-mapd 36391
This theorem is referenced by:  mapdpglem32  36471
  Copyright terms: Public domain W3C validator