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Theorem mapdrvallem2 36449
Description: Lemma for mapdrval 36451. TODO: very long antecedents are dragged through proof in some places - see if it shortens proof to remove unused conjuncts. (Contributed by NM, 2-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdrval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdrval.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrval.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdrval.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrval.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdrval.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdrval.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdrval.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
mapdrval.t 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
mapdrval.c 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
mapdrval.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdrval.r (𝜑𝑅𝑇)
mapdrval.e (𝜑𝑅𝐶)
mapdrval.q 𝑄 = 𝑅 (𝑂‘(𝐿))
mapdrval.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdrvallem2.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapdrvallem2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdrvallem2.z 0 = (0g𝑈)
mapdrvallem2.y 𝑌 = (0g𝐷)
Assertion
Ref Expression
mapdrvallem2 (𝜑 → {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄} ⊆ 𝑅)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝑓,𝑔,𝐹   𝑓,𝐾   𝑔,,𝐿   𝑔,𝑂,   𝑄,𝑓,   𝑅,𝑓,   𝑈,𝑔   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓   𝐶,   ,𝑁   𝑄,   𝑈,   ,𝑉   ,𝑌   0 ,   𝜑,
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔,)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑓,𝑔,)   𝑄(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝑆(𝑓,𝑔,)   𝑇(𝑓,𝑔,)   𝑈(𝑓)   𝐹()   𝐻(𝑓,𝑔,)   𝐾(𝑔,)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑓,𝑔,)   𝑁(𝑓,𝑔)   𝑂(𝑓)   𝑉(𝑓,𝑔)   𝑊(𝑔,)   𝑌(𝑓,𝑔)   0 (𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mapdrvallem2
Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2686 . . 3 (𝑓 = 𝑌 → (𝑓𝑅𝑌𝑅))
2 mapdrval.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdrval.o . . . . 5 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdrval.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 mapdrval.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 mapdrvallem2.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 mapdrvallem2.z . . . . 5 0 = (0g𝑈)
8 mapdrval.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9 mapdrval.l . . . . 5 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10 mapdrval.d . . . . 5 𝐷 = (LDual‘𝑈)
11 mapdrvallem2.y . . . . 5 𝑌 = (0g𝐷)
12 mapdrval.c . . . . 5 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
13 mapdrval.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
14133ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
1514adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 simpl2 1063 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑓𝐶)
17 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑓𝑌)
18 eldifsn 4292 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐶 ∖ {𝑌}) ↔ (𝑓𝐶𝑓𝑌))
1916, 17, 18sylanbrc 697 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑓 ∈ (𝐶 ∖ {𝑌}))
202, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 19lcfl8b 36308 . . . 4 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}))
21 simp1l3 1154 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄)
22 eqimss2 3642 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿𝑓)))
23223ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿𝑓)))
24 mapdrval.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
252, 4, 13dvhlmod 35914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
26253ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑈 ∈ LMod)
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
28273ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑈 ∈ LMod)
29153ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3012lcfl1lem 36295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓𝐶 ↔ (𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)))
3130simplbi 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓𝐶𝑓𝐹)
32313ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑓𝐹)
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑓𝐹)
34333ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑓𝐹)
355, 8, 9, 28, 34lkrssv 33898 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝐿𝑓) ⊆ 𝑉)
362, 4, 5, 24, 3dochlss 36158 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝑓) ⊆ 𝑉) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ 𝑆)
3729, 35, 36syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ 𝑆)
38 eldifi 3715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑥𝑉)
39383ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥𝑉)
405, 24, 6, 28, 37, 39lspsnel5 18927 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ↔ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿𝑓))))
4123, 40mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿𝑓)))
4221, 41sseldd 3588 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥𝑄)
43 mapdrval.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = 𝑅 (𝑂‘(𝐿))
4442, 43syl6eleq 2708 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥 𝑅 (𝑂‘(𝐿)))
45 eliun 4495 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑅 (𝑂‘(𝐿)) ↔ ∃𝑅 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿)))
4644, 45sylib 208 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → ∃𝑅 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿)))
47 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
48 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
49 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
502, 4, 13dvhlvec 35913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
51503ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑈 ∈ LVec)
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑈 ∈ LVec)
53523ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑈 ∈ LVec)
5453ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝑈 ∈ LVec)
55 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → 𝑅)
56 simp1l1 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝜑)
5756adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → 𝜑)
58 mapdrval.e . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅𝐶)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → 𝑅𝐶)
6059sseld 3586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → (𝑅𝐶))
6112lcfl1lem 36295 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 ↔ (𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿))) = (𝐿)))
6261simplbi 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶𝐹)
6360, 62syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → (𝑅𝐹))
6455, 63mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → 𝐹)
6564adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝐹)
6634ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝑓𝐹)
67 simpll3 1100 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}))
6828ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝑈 ∈ LMod)
6929ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
705, 8, 9, 68, 65lkrssv 33898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝐿) ⊆ 𝑉)
712, 4, 5, 24, 3dochlss 36158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿) ⊆ 𝑉) → (𝑂‘(𝐿)) ∈ 𝑆)
7269, 70, 71syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝑂‘(𝐿)) ∈ 𝑆)
73 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿)))
7424, 6, 68, 72, 73lspsnel5a 18928 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿)))
75 mapdrvallem2.a . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
76 simpll2 1099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
775, 6, 7, 75, 68, 76lsatlspsn 33795 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
782, 3, 4, 7, 75, 8, 9, 69, 65dochsat0 36261 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → ((𝑂‘(𝐿)) ∈ 𝐴 ∨ (𝑂‘(𝐿)) = { 0 }))
797, 75, 54, 77, 78lsatcmp2 33806 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿)) ↔ (𝑁‘{𝑥}) = (𝑂‘(𝐿))))
8074, 79mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑂‘(𝐿)))
8167, 80eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝑂‘(𝐿)) = (𝑂‘(𝐿𝑓)))
82 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
8356, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑅𝐶)
8483sselda 3587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → 𝐶)
8584adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝐶)
862, 82, 3, 4, 8, 9, 12, 69, 65lcfl5 36300 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝐶 ↔ (𝐿) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)))
8785, 86mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝐿) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
88 simp1l2 1153 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑓𝐶)
8988ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝑓𝐶)
902, 82, 3, 4, 8, 9, 12, 69, 66lcfl5 36300 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝑓𝐶 ↔ (𝐿𝑓) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)))
9189, 90mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝐿𝑓) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
922, 82, 3, 69, 87, 91doch11 36177 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → ((𝑂‘(𝐿)) = (𝑂‘(𝐿𝑓)) ↔ (𝐿) = (𝐿𝑓)))
9381, 92mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝐿) = (𝐿𝑓))
9447, 48, 8, 9, 10, 49, 54, 65, 66, 93eqlkr4 33967 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷)))
9594ex 450 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → (𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿)) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷))))
9695reximdva 3012 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (∃𝑅 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿)) → ∃𝑅𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷))))
9746, 96mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → ∃𝑅𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷)))
98 eleq1 2686 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷)) → (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))
9998reximi 3006 . . . . . . . . 9 (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷)) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))
10099reximi 3006 . . . . . . . 8 (∃𝑅𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷)) → ∃𝑅𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))
101 rexcom 3092 . . . . . . . . 9 (∃𝑅𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑅 (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))
102 df-rex 2913 . . . . . . . . . 10 (∃𝑅 (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅) ↔ ∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)))
103102rexbii 3035 . . . . . . . . 9 (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑅 (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)))
104101, 103bitri 264 . . . . . . . 8 (∃𝑅𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)))
105100, 104sylib 208 . . . . . . 7 (∃𝑅𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷)) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)))
10697, 105syl 17 . . . . . 6 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)))
107 mapdrval.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
10827ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))) → 𝑈 ∈ LMod)
109 mapdrval.r . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅𝑇)
1101093ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑅𝑇)
111110adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑅𝑇)
112111ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))) → 𝑅𝑇)
113 simplr 791 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
114 simprl 793 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))) → 𝑅)
11547, 48, 10, 49, 107, 108, 112, 113, 114ldualssvscl 33960 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))) → (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)
116 biimpr 210 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅) → ((𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅𝑓𝑅))
117116ad2antll 764 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))) → ((𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅𝑓𝑅))
118115, 117mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))) → 𝑓𝑅)
119118ex 450 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) → ((𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)) → 𝑓𝑅))
120119exlimdv 1858 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) → (∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)) → 𝑓𝑅))
121120rexlimdva 3025 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)) → 𝑓𝑅))
1221213ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)) → 𝑓𝑅))
123106, 122mpd 15 . . . . 5 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑓𝑅)
124123rexlimdv3a 3027 . . . 4 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}) → 𝑓𝑅))
12520, 124mpd 15 . . 3 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑓𝑅)
12610, 25lduallmod 33955 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
1271263ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝐷 ∈ LMod)
12811, 107lss0cl 18879 . . . 4 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑅𝑇) → 𝑌𝑅)
129127, 110, 128syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑌𝑅)
1301, 125, 129pm2.61ne 2875 . 2 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑓𝑅)
131130rabssdv 3666 1 (𝜑 → {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄} ⊆ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  {crab 2911  cdif 3556  wss 3559  {csn 4153   ciun 4490  ran crn 5080  cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15792  Scalarcsca 15876   ·𝑠 cvsca 15877  0gc0g 16032  LModclmod 18795  LSubSpclss 18864  LSpanclspn 18903  LVecclvec 19034  LSAtomsclsa 33776  LFnlclfn 33859  LKerclk 33887  LDualcld 33925  HLchlt 34152  LHypclh 34785  DVecHcdvh 35882  DIsoHcdih 36032  ocHcoch 36151  mapdcmpd 36428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-riotaBAD 33754
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-tpos 7304  df-undef 7351  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-0g 16034  df-preset 16860  df-poset 16878  df-plt 16890  df-lub 16906  df-glb 16907  df-join 16908  df-meet 16909  df-p0 16971  df-p1 16972  df-lat 16978  df-clat 17040  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-subg 17523  df-cntz 17682  df-lsm 17983  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-oppr 18555  df-dvdsr 18573  df-unit 18574  df-invr 18604  df-dvr 18615  df-drng 18681  df-lmod 18797  df-lss 18865  df-lsp 18904  df-lvec 19035  df-lsatoms 33778  df-lshyp 33779  df-lfl 33860  df-lkr 33888  df-ldual 33926  df-oposet 33978  df-ol 33980  df-oml 33981  df-covers 34068  df-ats 34069  df-atl 34100  df-cvlat 34124  df-hlat 34153  df-llines 34299  df-lplanes 34300  df-lvols 34301  df-lines 34302  df-psubsp 34304  df-pmap 34305  df-padd 34597  df-lhyp 34789  df-laut 34790  df-ldil 34905  df-ltrn 34906  df-trl 34961  df-tgrp 35546  df-tendo 35558  df-edring 35560  df-dveca 35806  df-disoa 35833  df-dvech 35883  df-dib 35943  df-dic 35977  df-dih 36033  df-doch 36152  df-djh 36199
This theorem is referenced by:  mapdrvallem3  36450
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