Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdsord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdsord 36451
Description: Strong ordering property of themap defined by df-mapd 36421. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdcnvcl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdcnvcl.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdcnvcl.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdcnvcl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdcnvcl.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdcl.x (𝜑𝑋𝑆)
mapdsord.x (𝜑𝑌𝑆)
Assertion
Ref Expression
mapdsord (𝜑 → ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑌) ↔ 𝑋𝑌))

Proof of Theorem mapdsord
StepHypRef Expression
1 mapdcnvcl.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdcnvcl.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdcnvcl.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4 mapdcnvcl.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5 mapdcnvcl.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 mapdcl.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
7 mapdsord.x . . . 4 (𝜑𝑌𝑆)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mapdord 36434 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ⊆ (𝑀𝑌) ↔ 𝑋𝑌))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7mapd11 36435 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝑋) = (𝑀𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
109necon3bid 2834 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ≠ (𝑀𝑌) ↔ 𝑋𝑌))
118, 10anbi12d 746 . 2 (𝜑 → (((𝑀𝑋) ⊆ (𝑀𝑌) ∧ (𝑀𝑋) ≠ (𝑀𝑌)) ↔ (𝑋𝑌𝑋𝑌)))
12 df-pss 3575 . 2 ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑌) ↔ ((𝑀𝑋) ⊆ (𝑀𝑌) ∧ (𝑀𝑋) ≠ (𝑀𝑌)))
13 df-pss 3575 . 2 (𝑋𝑌 ↔ (𝑋𝑌𝑋𝑌))
1411, 12, 133bitr4g 303 1 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ⊊ (𝑀𝑌) ↔ 𝑋𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wss 3559  wpss 3560  cfv 5852  LSubSpclss 18860  HLchlt 34144  LHypclh 34777  DVecHcdvh 35874  mapdcmpd 36420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-riotaBAD 33746
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-tpos 7304  df-undef 7351  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-fz 12276  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-0g 16030  df-preset 16856  df-poset 16874  df-plt 16886  df-lub 16902  df-glb 16903  df-join 16904  df-meet 16905  df-p0 16967  df-p1 16968  df-lat 16974  df-clat 17036  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-sbg 17355  df-subg 17519  df-cntz 17678  df-lsm 17979  df-cmn 18123  df-abl 18124  df-mgp 18418  df-ur 18430  df-ring 18477  df-oppr 18551  df-dvdsr 18569  df-unit 18570  df-invr 18600  df-dvr 18611  df-drng 18677  df-lmod 18793  df-lss 18861  df-lsp 18900  df-lvec 19031  df-lsatoms 33770  df-lshyp 33771  df-lfl 33852  df-lkr 33880  df-oposet 33970  df-ol 33972  df-oml 33973  df-covers 34060  df-ats 34061  df-atl 34092  df-cvlat 34116  df-hlat 34145  df-llines 34291  df-lplanes 34292  df-lvols 34293  df-lines 34294  df-psubsp 34296  df-pmap 34297  df-padd 34589  df-lhyp 34781  df-laut 34782  df-ldil 34897  df-ltrn 34898  df-trl 34953  df-tgrp 35538  df-tendo 35550  df-edring 35552  df-dveca 35798  df-disoa 35825  df-dvech 35875  df-dib 35935  df-dic 35969  df-dih 36025  df-doch 36144  df-djh 36191  df-mapd 36421
This theorem is referenced by:  mapdcv  36456
  Copyright terms: Public domain W3C validator