Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdspex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdspex 37459
Description: The map of a span equals the dual span of some vector (functional). (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdspex.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdspex.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdspex.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdspex.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdspex.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdspex.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdspex.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
mapdspex.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdspex.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdspex.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
mapdspex (𝜑 → ∃𝑔𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝐶,𝑔   𝑔,𝐽   𝑔,𝑀   𝑔,𝑁   𝑔,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem mapdspex
StepHypRef Expression
1 mapdspex.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdspex.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdspex.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 37383 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
54adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝐶 ∈ LMod)
6 mapdspex.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
7 mapdspex.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2760 . . . 4 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
9 eqid 2760 . . . 4 (LSAtoms‘𝐶) = (LSAtoms‘𝐶)
103adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 simpr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
121, 6, 7, 8, 2, 9, 10, 11mapdat 37458 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
13 mapdspex.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
14 mapdspex.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
1513, 14, 9islsati 34784 . . 3 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSAtoms‘𝐶)) → ∃𝑔𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
165, 12, 15syl2anc 696 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑔𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
17 eqid 2760 . . . . 5 (0g𝐶) = (0g𝐶)
181, 2, 13, 17, 3lcd0vcl 37405 . . . 4 (𝜑 → (0g𝐶) ∈ 𝐵)
1918adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g𝑈)}) → (0g𝐶) ∈ 𝐵)
20 fveq2 6352 . . . 4 ((𝑁‘{𝑋}) = {(0g𝑈)} → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{(0g𝑈)}))
21 eqid 2760 . . . . . 6 (0g𝑈) = (0g𝑈)
221, 6, 7, 21, 2, 17, 3mapd0 37456 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘{(0g𝑈)}) = {(0g𝐶)})
2317, 14lspsn0 19210 . . . . . 6 (𝐶 ∈ LMod → (𝐽‘{(0g𝐶)}) = {(0g𝐶)})
244, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽‘{(0g𝐶)}) = {(0g𝐶)})
2522, 24eqtr4d 2797 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘{(0g𝑈)}) = (𝐽‘{(0g𝐶)}))
2620, 25sylan9eqr 2816 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g𝑈)}) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{(0g𝐶)}))
27 sneq 4331 . . . . . 6 (𝑔 = (0g𝐶) → {𝑔} = {(0g𝐶)})
2827fveq2d 6356 . . . . 5 (𝑔 = (0g𝐶) → (𝐽‘{𝑔}) = (𝐽‘{(0g𝐶)}))
2928eqeq2d 2770 . . . 4 (𝑔 = (0g𝐶) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{(0g𝐶)})))
3029rspcev 3449 . . 3 (((0g𝐶) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{(0g𝐶)})) → ∃𝑔𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
3119, 26, 30syl2anc 696 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g𝑈)}) → ∃𝑔𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
32 mapdspex.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
33 mapdspex.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
341, 7, 3dvhlmod 36901 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
35 mapdspex.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
3632, 33, 21, 8, 34, 35lsator0sp 34791 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g𝑈)}))
3716, 31, 36mpjaodan 862 1 (𝜑 → ∃𝑔𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  {csn 4321  cfv 6049  Basecbs 16059  0gc0g 16302  LModclmod 19065  LSpanclspn 19173  LSAtomsclsa 34764  HLchlt 35140  LHypclh 35773  DVecHcdvh 36869  LCDualclcd 37377  mapdcmpd 37415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-riotaBAD 34742
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-undef 7568  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-0g 16304  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-p1 17241  df-lat 17247  df-clat 17309  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-subg 17792  df-cntz 17950  df-oppg 17976  df-lsm 18251  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-drng 18951  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-lvec 19305  df-lsatoms 34766  df-lshyp 34767  df-lcv 34809  df-lfl 34848  df-lkr 34876  df-ldual 34914  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-llines 35287  df-lplanes 35288  df-lvols 35289  df-lines 35290  df-psubsp 35292  df-pmap 35293  df-padd 35585  df-lhyp 35777  df-laut 35778  df-ldil 35893  df-ltrn 35894  df-trl 35949  df-tgrp 36533  df-tendo 36545  df-edring 36547  df-dveca 36793  df-disoa 36820  df-dvech 36870  df-dib 36930  df-dic 36964  df-dih 37020  df-doch 37139  df-djh 37186  df-lcdual 37378  df-mapd 37416
This theorem is referenced by:  mapdpglem2  37464
  Copyright terms: Public domain W3C validator