Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdspex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdspex 38684
Description: The map of a span equals the dual span of some vector (functional). (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdspex.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdspex.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdspex.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdspex.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdspex.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdspex.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdspex.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
mapdspex.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdspex.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdspex.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
mapdspex (𝜑 → ∃𝑔𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝐶,𝑔   𝑔,𝐽   𝑔,𝑀   𝑔,𝑁   𝑔,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem mapdspex
StepHypRef Expression
1 mapdspex.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdspex.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdspex.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 38608 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
54adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝐶 ∈ LMod)
6 mapdspex.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
7 mapdspex.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2818 . . . 4 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
9 eqid 2818 . . . 4 (LSAtoms‘𝐶) = (LSAtoms‘𝐶)
103adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 simpr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
121, 6, 7, 8, 2, 9, 10, 11mapdat 38683 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
13 mapdspex.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
14 mapdspex.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
1513, 14, 9islsati 36010 . . 3 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSAtoms‘𝐶)) → ∃𝑔𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
165, 12, 15syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑔𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
17 eqid 2818 . . . . 5 (0g𝐶) = (0g𝐶)
181, 2, 13, 17, 3lcd0vcl 38630 . . . 4 (𝜑 → (0g𝐶) ∈ 𝐵)
1918adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g𝑈)}) → (0g𝐶) ∈ 𝐵)
20 fveq2 6663 . . . 4 ((𝑁‘{𝑋}) = {(0g𝑈)} → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝑀‘{(0g𝑈)}))
21 eqid 2818 . . . . . 6 (0g𝑈) = (0g𝑈)
221, 6, 7, 21, 2, 17, 3mapd0 38681 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘{(0g𝑈)}) = {(0g𝐶)})
2317, 14lspsn0 19709 . . . . . 6 (𝐶 ∈ LMod → (𝐽‘{(0g𝐶)}) = {(0g𝐶)})
244, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽‘{(0g𝐶)}) = {(0g𝐶)})
2522, 24eqtr4d 2856 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘{(0g𝑈)}) = (𝐽‘{(0g𝐶)}))
2620, 25sylan9eqr 2875 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g𝑈)}) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{(0g𝐶)}))
27 sneq 4567 . . . . 5 (𝑔 = (0g𝐶) → {𝑔} = {(0g𝐶)})
2827fveq2d 6667 . . . 4 (𝑔 = (0g𝐶) → (𝐽‘{𝑔}) = (𝐽‘{(0g𝐶)}))
2928rspceeqv 3635 . . 3 (((0g𝐶) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{(0g𝐶)})) → ∃𝑔𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
3019, 26, 29syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g𝑈)}) → ∃𝑔𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
31 mapdspex.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
32 mapdspex.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
331, 7, 3dvhlmod 38126 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
34 mapdspex.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
3531, 32, 21, 8, 33, 34lsator0sp 36017 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝑁‘{𝑋}) = {(0g𝑈)}))
3616, 30, 35mpjaodan 952 1 (𝜑 → ∃𝑔𝐵 (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝑔}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  {csn 4557  cfv 6348  Basecbs 16471  0gc0g 16701  LModclmod 19563  LSpanclspn 19672  LSAtomsclsa 35990  HLchlt 36366  LHypclh 37000  DVecHcdvh 38094  LCDualclcd 38602  mapdcmpd 38640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-undef 7928  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-0g 16703  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-oppg 18412  df-lsm 18690  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lvec 19804  df-lsatoms 35992  df-lshyp 35993  df-lcv 36035  df-lfl 36074  df-lkr 36102  df-ldual 36140  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175  df-tgrp 37759  df-tendo 37771  df-edring 37773  df-dveca 38019  df-disoa 38045  df-dvech 38095  df-dib 38155  df-dic 38189  df-dih 38245  df-doch 38364  df-djh 38411  df-lcdual 38603  df-mapd 38641
This theorem is referenced by:  mapdpglem2  38689
  Copyright terms: Public domain W3C validator