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Theorem mapen 8165
Description: Two set exponentiations are equinumerous when their bases and exponents are equinumerous. Theorem 6H(c) of [Enderton] p. 139. (Contributed by NM, 16-Dec-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapen ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝐵𝑚 𝐷))

Proof of Theorem mapen
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 8006 . 2 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
2 bren 8006 . 2 (𝐶𝐷 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷)
3 eeanv 2218 . . 3 (∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷))
4 ovexd 6720 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐴𝑚 𝐶) ∈ V)
5 ovexd 6720 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐵𝑚 𝐷) ∈ V)
6 elmapi 7921 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → 𝑥:𝐶𝐴)
7 f1of 6175 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴𝐵)
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑓:𝐴𝐵)
9 fco 6096 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥:𝐶𝐴) → (𝑓𝑥):𝐶𝐵)
108, 9sylan 487 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐶𝐴) → (𝑓𝑥):𝐶𝐵)
11 f1ocnv 6187 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷𝑔:𝐷1-1-onto𝐶)
1211adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑔:𝐷1-1-onto𝐶)
13 f1of 6175 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:𝐷1-1-onto𝐶𝑔:𝐷𝐶)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑔:𝐷𝐶)
1514adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐶𝐴) → 𝑔:𝐷𝐶)
16 fco 6096 . . . . . . . . 9 (((𝑓𝑥):𝐶𝐵𝑔:𝐷𝐶) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵)
1710, 15, 16syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐶𝐴) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵)
1817ex 449 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥:𝐶𝐴 → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵))
196, 18syl5 34 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵))
20 f1ofo 6182 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴onto𝐵)
2120adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑓:𝐴onto𝐵)
22 forn 6156 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → ran 𝑓 = 𝐵)
24 vex 3234 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
2524rnex 7142 . . . . . . . 8 ran 𝑓 ∈ V
2623, 25syl6eqelr 2739 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝐵 ∈ V)
27 f1ofo 6182 . . . . . . . . . 10 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷𝑔:𝐶onto𝐷)
2827adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑔:𝐶onto𝐷)
29 forn 6156 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐶onto𝐷 → ran 𝑔 = 𝐷)
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → ran 𝑔 = 𝐷)
31 vex 3234 . . . . . . . . 9 𝑔 ∈ V
3231rnex 7142 . . . . . . . 8 ran 𝑔 ∈ V
3330, 32syl6eqelr 2739 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝐷 ∈ V)
3426, 33elmapd 7913 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∈ (𝐵𝑚 𝐷) ↔ ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵))
3519, 34sylibrd 249 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∈ (𝐵𝑚 𝐷)))
36 elmapi 7921 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝐷) → 𝑦:𝐷𝐵)
37 f1ocnv 6187 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
39 f1of 6175 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵𝐴)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑓:𝐵𝐴)
4140adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐷𝐵) → 𝑓:𝐵𝐴)
42 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦:𝐷𝐵𝑦:𝐷𝐵)
43 f1of 6175 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷𝑔:𝐶𝐷)
4443adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑔:𝐶𝐷)
45 fco 6096 . . . . . . . . . 10 ((𝑦:𝐷𝐵𝑔:𝐶𝐷) → (𝑦𝑔):𝐶𝐵)
4642, 44, 45syl2anr 494 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐷𝐵) → (𝑦𝑔):𝐶𝐵)
47 fco 6096 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ (𝑦𝑔):𝐶𝐵) → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴)
4841, 46, 47syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐷𝐵) → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴)
4948ex 449 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦:𝐷𝐵 → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴))
5036, 49syl5 34 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝐷) → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴))
51 f1odm 6179 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
5251adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → dom 𝑓 = 𝐴)
5324dmex 7141 . . . . . . . 8 dom 𝑓 ∈ V
5452, 53syl6eqelr 2739 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝐴 ∈ V)
55 f1odm 6179 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷 → dom 𝑔 = 𝐶)
5655adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → dom 𝑔 = 𝐶)
5731dmex 7141 . . . . . . . 8 dom 𝑔 ∈ V
5856, 57syl6eqelr 2739 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝐶 ∈ V)
5954, 58elmapd 7913 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → ((𝑓 ∘ (𝑦𝑔)) ∈ (𝐴𝑚 𝐶) ↔ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴))
6050, 59sylibrd 249 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝐷) → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)) ∈ (𝐴𝑚 𝐶)))
61 coass 5692 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑓) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)))
62 f1ococnv2 6201 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝐵))
6362ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝐵))
6463coeq1d 5316 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑓) ∘ (𝑦𝑔)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑦𝑔)))
6546adantrl 752 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑦𝑔):𝐶𝐵)
66 fcoi2 6117 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑔):𝐶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
6864, 67eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑓) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
6961, 68syl5eqr 2699 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))) = (𝑦𝑔))
7069eqeq2d 2661 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) = (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))) ↔ (𝑓𝑥) = (𝑦𝑔)))
71 coass 5692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) = ((𝑓𝑥) ∘ (𝑔𝑔))
72 f1ococnv1 6203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷 → (𝑔𝑔) = ( I ↾ 𝐶))
7372ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑔𝑔) = ( I ↾ 𝐶))
7473coeq2d 5317 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) ∘ (𝑔𝑔)) = ((𝑓𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐶)))
7510adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑓𝑥):𝐶𝐵)
76 fcoi1 6116 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓𝑥):𝐶𝐵 → ((𝑓𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐶)) = (𝑓𝑥))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐶)) = (𝑓𝑥))
7874, 77eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) ∘ (𝑔𝑔)) = (𝑓𝑥))
7971, 78syl5eq 2697 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) = (𝑓𝑥))
8079eqeq2d 2661 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑦𝑔) = (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ (𝑦𝑔) = (𝑓𝑥)))
81 eqcom 2658 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑔) = (𝑓𝑥) ↔ (𝑓𝑥) = (𝑦𝑔))
8280, 81syl6bb 276 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑦𝑔) = (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ (𝑓𝑥) = (𝑦𝑔)))
8370, 82bitr4d 271 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) = (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))) ↔ (𝑦𝑔) = (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔)))
84 f1of1 6174 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴1-1𝐵)
8584ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → 𝑓:𝐴1-1𝐵)
86 simprl 809 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → 𝑥:𝐶𝐴)
8748adantrl 752 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴)
88 cocan1 6586 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥:𝐶𝐴 ∧ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴) → ((𝑓𝑥) = (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))) ↔ 𝑥 = (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))))
8985, 86, 87, 88syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) = (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))) ↔ 𝑥 = (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))))
9028adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → 𝑔:𝐶onto𝐷)
91 ffn 6083 . . . . . . . . . 10 (𝑦:𝐷𝐵𝑦 Fn 𝐷)
9291ad2antll 765 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → 𝑦 Fn 𝐷)
9317adantrr 753 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵)
94 ffn 6083 . . . . . . . . . 10 (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵 → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐷)
9593, 94syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐷)
96 cocan2 6587 . . . . . . . . 9 ((𝑔:𝐶onto𝐷𝑦 Fn 𝐷 ∧ ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐷) → ((𝑦𝑔) = (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ 𝑦 = ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔)))
9790, 92, 95, 96syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑦𝑔) = (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ 𝑦 = ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔)))
9883, 89, 973bitr3d 298 . . . . . . 7 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑥 = (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔)))
9998ex 449 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → ((𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵) → (𝑥 = (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔))))
1006, 36, 99syl2ani 689 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝐷)) → (𝑥 = (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔))))
1014, 5, 35, 60, 100en3d 8034 . . . 4 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝐵𝑚 𝐷))
102101exlimivv 1900 . . 3 (∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝐵𝑚 𝐷))
1033, 102sylbir 225 . 2 ((∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝐵𝑚 𝐷))
1041, 2, 103syl2anb 495 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝐵𝑚 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  Vcvv 3231   class class class wbr 4685   I cid 5052  ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  ccom 5147   Fn wfn 5921  wf 5922  1-1wf1 5923  ontowfo 5924  1-1-ontowf1o 5925  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  cen 7994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-map 7901  df-en 7998
This theorem is referenced by:  mapdom1  8166  mapdom2  8172  pwen  8174  mappwen  8973  mapcdaen  9044  cfpwsdom  9444  rpnnen  15000  rexpen  15001  enrelmap  38608
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