MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfi 8808
Description: Set exponentiation of finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
mapfi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴m 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem mapfi
StepHypRef Expression
1 xpfi 8777 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin)
21ancoms 459 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin)
3 pwfi 8807 . . 3 ((𝐵 × 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin)
42, 3sylib 219 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin)
5 mapsspw 8431 . 2 (𝐴m 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)
6 ssfi 8726 . 2 ((𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴m 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)) → (𝐴m 𝐵) ∈ Fin)
74, 5, 6sylancl 586 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴m 𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  wss 3933  𝒫 cpw 4535   × cxp 5546  (class class class)co 7145  m cmap 8395  Fincfn 8497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501
This theorem is referenced by:  ixpfi  8809  hashmap  13784  hashpw  13785  hashf1lem2  13802  prmreclem2  16241  vdwlem10  16314  symgbasfi  18442  aannenlem1  24844  birthdaylem1  25456  dchrfi  25758  reprfi  31786  deranglem  32310  poimirlem9  34782  poimirlem26  34799  poimirlem27  34800  poimirlem28  34801  poimirlem32  34805  dvnprodlem2  42108  etransclem16  42412  etransclem33  42429  efmndbasfi  43975
  Copyright terms: Public domain W3C validator