MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfi 8122
Description: Set exponentiation of finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
mapfi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝑚 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem mapfi
StepHypRef Expression
1 xpfi 8093 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin)
21ancoms 467 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin)
3 pwfi 8121 . . 3 ((𝐵 × 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin)
42, 3sylib 206 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin)
5 mapsspw 7756 . 2 (𝐴𝑚 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)
6 ssfi 8042 . 2 ((𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴𝑚 𝐵) ⊆ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)) → (𝐴𝑚 𝐵) ∈ Fin)
74, 5, 6sylancl 692 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝑚 𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1976  wss 3539  𝒫 cpw 4107   × cxp 5026  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7721  Fincfn 7818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822
This theorem is referenced by:  ixpfi  8123  hashmap  13034  hashpw  13035  hashf1lem2  13049  prmreclem2  15405  vdwlem10  15478  symgbasfi  17575  aannenlem1  23804  birthdaylem1  24395  dchrfi  24697  deranglem  30208  poimirlem9  32384  poimirlem26  32401  poimirlem27  32402  poimirlem28  32403  poimirlem32  32407  dvnprodlem2  38634  etransclem16  38940  etransclem33  38957
  Copyright terms: Public domain W3C validator