MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfien2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfien2 8860
Description: Equinumerousity relation for sets of finitely supported functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.) (Revised by AV, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien2.s 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 0 }
mapfien2.t 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
mapfien2.ac (𝜑𝐴𝐶)
mapfien2.bd (𝜑𝐵𝐷)
mapfien2.z (𝜑0𝐵)
mapfien2.w (𝜑𝑊𝐷)
Assertion
Ref Expression
mapfien2 (𝜑𝑆𝑇)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥, 0   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem mapfien2
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapfien2.z . . 3 (𝜑0𝐵)
2 mapfien2.w . . 3 (𝜑𝑊𝐷)
3 mapfien2.bd . . 3 (𝜑𝐵𝐷)
4 enfixsn 8614 . . 3 (( 0𝐵𝑊𝐷𝐵𝐷) → ∃𝑦(𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊))
51, 2, 3, 4syl3anc 1363 . 2 (𝜑 → ∃𝑦(𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊))
6 mapfien2.ac . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
7 bren 8506 . . . . 5 (𝐴𝐶 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝐴1-1-onto𝐶)
86, 7sylib 219 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑧 𝑧:𝐴1-1-onto𝐶)
9 mapfien2.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 0 }
10 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} = {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )}
11 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑦0 ) = (𝑦0 )
12 f1ocnv 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑧:𝐶1-1-onto𝐴)
13123ad2ant2 1126 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝑧:𝐶1-1-onto𝐴)
14 simp3 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)
1563ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐴𝐶)
16 relen 8502 . . . . . . . . . . . 12 Rel ≈
1716brrelex1i 5601 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐶𝐴 ∈ V)
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐴 ∈ V)
1933ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐵𝐷)
2016brrelex1i 5601 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐷𝐵 ∈ V)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐵 ∈ V)
2216brrelex2i 5602 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐶𝐶 ∈ V)
2315, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐶 ∈ V)
2416brrelex2i 5602 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐷𝐷 ∈ V)
2519, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝐷 ∈ V)
2613ad2ant1 1125 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 0𝐵)
279, 10, 11, 13, 14, 18, 21, 23, 25, 26mapfien 8859 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → (𝑤𝑆 ↦ (𝑦 ∘ (𝑤𝑧))):𝑆1-1-onto→{𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )})
28 ovex 7178 . . . . . . . . . . 11 (𝐵m 𝐴) ∈ V
299, 28rabex2 5228 . . . . . . . . . 10 𝑆 ∈ V
3029f1oen 8518 . . . . . . . . 9 ((𝑤𝑆 ↦ (𝑦 ∘ (𝑤𝑧))):𝑆1-1-onto→{𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} → 𝑆 ≈ {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )})
3127, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → 𝑆 ≈ {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )})
32313adant3r 1173 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶 ∧ (𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊)) → 𝑆 ≈ {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )})
33 breq2 5061 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦0 ) = 𝑊 → (𝑥 finSupp (𝑦0 ) ↔ 𝑥 finSupp 𝑊))
3433rabbidv 3478 . . . . . . . . . 10 ((𝑦0 ) = 𝑊 → {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} = {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊})
35 mapfien2.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
3634, 35syl6eqr 2871 . . . . . . . . 9 ((𝑦0 ) = 𝑊 → {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} = 𝑇)
3736adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊) → {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} = 𝑇)
38373ad2ant3 1127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶 ∧ (𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊)) → {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp (𝑦0 )} = 𝑇)
3932, 38breqtrd 5083 . . . . . 6 ((𝜑𝑧:𝐴1-1-onto𝐶 ∧ (𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊)) → 𝑆𝑇)
40393exp 1111 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧:𝐴1-1-onto𝐶 → ((𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊) → 𝑆𝑇)))
4140exlimdv 1925 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑧 𝑧:𝐴1-1-onto𝐶 → ((𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊) → 𝑆𝑇)))
428, 41mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊) → 𝑆𝑇))
4342exlimdv 1925 . 2 (𝜑 → (∃𝑦(𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 ∧ (𝑦0 ) = 𝑊) → 𝑆𝑇))
445, 43mpd 15 1 (𝜑𝑆𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  {crab 3139  Vcvv 3492   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ccnv 5547  ccom 5552  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  cen 8494   finSupp cfsupp 8821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-1o 8091  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-fin 8501  df-fsupp 8822
This theorem is referenced by:  frlmpwfi  39576
  Copyright terms: Public domain W3C validator