MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfienlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfienlem1 8856
Description: Lemma 1 for mapfien 8859. (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien.s 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
mapfien.t 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
mapfien.w 𝑊 = (𝐺𝑍)
mapfien.f (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
mapfien.g (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
mapfien.a (𝜑𝐴 ∈ V)
mapfien.b (𝜑𝐵 ∈ V)
mapfien.c (𝜑𝐶 ∈ V)
mapfien.d (𝜑𝐷 ∈ V)
mapfien.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
mapfienlem1 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) finSupp 𝑊)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑓,𝐹   𝑓,𝐺,𝑥   𝜑,𝑓   𝑥,𝐷   𝑆,𝑓   𝑇,𝑓   𝑥,𝑊   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑊(𝑓)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem mapfienlem1
StepHypRef Expression
1 mapfien.w . . . 4 𝑊 = (𝐺𝑍)
21fvexi 6677 . . 3 𝑊 ∈ V
32a1i 11 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑊 ∈ V)
4 mapfien.z . . 3 (𝜑𝑍𝐵)
54adantr 481 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑍𝐵)
6 elrabi 3672 . . . . 5 (𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍} → 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐴))
7 elmapi 8417 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐴) → 𝑓:𝐴𝐵)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍} → 𝑓:𝐴𝐵)
9 mapfien.s . . . 4 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
108, 9eleq2s 2928 . . 3 (𝑓𝑆𝑓:𝐴𝐵)
11 mapfien.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
12 f1of 6608 . . . 4 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐶𝐴)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:𝐶𝐴)
14 fco 6524 . . 3 ((𝑓:𝐴𝐵𝐹:𝐶𝐴) → (𝑓𝐹):𝐶𝐵)
1510, 13, 14syl2anr 596 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝑓𝐹):𝐶𝐵)
16 mapfien.g . . . 4 (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
17 f1of 6608 . . . 4 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝐺:𝐵𝐷)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑𝐺:𝐵𝐷)
1918adantr 481 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐺:𝐵𝐷)
20 ssidd 3987 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐵𝐵)
21 mapfien.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ V)
2221adantr 481 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐶 ∈ V)
23 mapfien.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
2423adantr 481 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐵 ∈ V)
25 breq1 5060 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑓 → (𝑥 finSupp 𝑍𝑓 finSupp 𝑍))
2625, 9elrab2 3680 . . . . 5 (𝑓𝑆 ↔ (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐴) ∧ 𝑓 finSupp 𝑍))
2726simprbi 497 . . . 4 (𝑓𝑆𝑓 finSupp 𝑍)
2827adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑓 finSupp 𝑍)
29 f1of1 6607 . . . . 5 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐶1-1𝐴)
3011, 29syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐶1-1𝐴)
3130adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐹:𝐶1-1𝐴)
32 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑓𝑆)
3328, 31, 5, 32fsuppco 8853 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝑓𝐹) finSupp 𝑍)
341eqcomi 2827 . . 3 (𝐺𝑍) = 𝑊
3534a1i 11 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺𝑍) = 𝑊)
363, 5, 15, 19, 20, 22, 24, 33, 35fsuppcor 8855 1 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) finSupp 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139  Vcvv 3492   class class class wbr 5057  ccom 5552  wf 6344  1-1wf1 6345  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395   finSupp cfsupp 8821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-1o 8091  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-fin 8501  df-fsupp 8822
This theorem is referenced by:  mapfien  8859
  Copyright terms: Public domain W3C validator