MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfienlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfienlem1 8254
Description: Lemma 1 for mapfien 8257. (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien.s 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
mapfien.t 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
mapfien.w 𝑊 = (𝐺𝑍)
mapfien.f (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
mapfien.g (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
mapfien.a (𝜑𝐴 ∈ V)
mapfien.b (𝜑𝐵 ∈ V)
mapfien.c (𝜑𝐶 ∈ V)
mapfien.d (𝜑𝐷 ∈ V)
mapfien.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
mapfienlem1 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) finSupp 𝑊)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑓,𝐹   𝑓,𝐺,𝑥   𝜑,𝑓   𝑥,𝐷   𝑆,𝑓   𝑇,𝑓   𝑥,𝑊   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑊(𝑓)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem mapfienlem1
StepHypRef Expression
1 mapfien.w . . . 4 𝑊 = (𝐺𝑍)
2 fvex 6158 . . . 4 (𝐺𝑍) ∈ V
31, 2eqeltri 2694 . . 3 𝑊 ∈ V
43a1i 11 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑊 ∈ V)
5 mapfien.z . . 3 (𝜑𝑍𝐵)
65adantr 481 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑍𝐵)
7 elrabi 3342 . . . . 5 (𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍} → 𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐴))
8 elmapi 7823 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) → 𝑓:𝐴𝐵)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍} → 𝑓:𝐴𝐵)
10 mapfien.s . . . 4 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
119, 10eleq2s 2716 . . 3 (𝑓𝑆𝑓:𝐴𝐵)
12 mapfien.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
13 f1of 6094 . . . 4 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐶𝐴)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:𝐶𝐴)
15 fco 6015 . . 3 ((𝑓:𝐴𝐵𝐹:𝐶𝐴) → (𝑓𝐹):𝐶𝐵)
1611, 14, 15syl2anr 495 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝑓𝐹):𝐶𝐵)
17 mapfien.g . . . 4 (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
18 f1of 6094 . . . 4 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝐺:𝐵𝐷)
1917, 18syl 17 . . 3 (𝜑𝐺:𝐵𝐷)
2019adantr 481 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐺:𝐵𝐷)
21 ssid 3603 . . 3 𝐵𝐵
2221a1i 11 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐵𝐵)
23 mapfien.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ V)
2423adantr 481 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐶 ∈ V)
25 mapfien.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
2625adantr 481 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐵 ∈ V)
27 breq1 4616 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑓 → (𝑥 finSupp 𝑍𝑓 finSupp 𝑍))
2827, 10elrab2 3348 . . . . 5 (𝑓𝑆 ↔ (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∧ 𝑓 finSupp 𝑍))
2928simprbi 480 . . . 4 (𝑓𝑆𝑓 finSupp 𝑍)
3029adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑓 finSupp 𝑍)
31 f1of1 6093 . . . . 5 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐶1-1𝐴)
3212, 31syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐶1-1𝐴)
3332adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐹:𝐶1-1𝐴)
34 simpr 477 . . 3 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑓𝑆)
3530, 33, 6, 34fsuppco 8251 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝑓𝐹) finSupp 𝑍)
361eqcomi 2630 . . 3 (𝐺𝑍) = 𝑊
3736a1i 11 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺𝑍) = 𝑊)
384, 6, 16, 20, 22, 24, 26, 35, 37fsuppcor 8253 1 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) finSupp 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  Vcvv 3186  wss 3555   class class class wbr 4613  ccom 5078  wf 5843  1-1wf1 5844  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑚 cmap 7802   finSupp cfsupp 8219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-1o 7505  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-fin 7903  df-fsupp 8220
This theorem is referenced by:  mapfien  8257
  Copyright terms: Public domain W3C validator