MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfienlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfienlem3 8256
Description: Lemma 3 for mapfien 8257. (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien.s 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
mapfien.t 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
mapfien.w 𝑊 = (𝐺𝑍)
mapfien.f (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
mapfien.g (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
mapfien.a (𝜑𝐴 ∈ V)
mapfien.b (𝜑𝐵 ∈ V)
mapfien.c (𝜑𝐶 ∈ V)
mapfien.d (𝜑𝐷 ∈ V)
mapfien.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
mapfienlem3 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑥   𝜑,𝑔   𝑥,𝐷   𝑆,𝑔   𝑇,𝑔   𝑥,𝑊   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑔)   𝐵(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑔)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑊(𝑔)   𝑍(𝑔)

Proof of Theorem mapfienlem3
StepHypRef Expression
1 mapfien.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
2 f1ocnv 6106 . . . . . . 7 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐵)
3 f1of 6094 . . . . . . 7 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐵𝐺:𝐷𝐵)
41, 2, 33syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐷𝐵)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐺:𝐷𝐵)
6 elrabi 3342 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊} → 𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶))
7 mapfien.t . . . . . . . 8 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
86, 7eleq2s 2716 . . . . . . 7 (𝑔𝑇𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶))
98adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶))
10 elmapi 7823 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (𝐷𝑚 𝐶) → 𝑔:𝐶𝐷)
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑔:𝐶𝐷)
12 fco 6015 . . . . 5 ((𝐺:𝐷𝐵𝑔:𝐶𝐷) → (𝐺𝑔):𝐶𝐵)
135, 11, 12syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑇) → (𝐺𝑔):𝐶𝐵)
14 mapfien.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
15 f1ocnv 6106 . . . . . 6 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1-onto𝐶)
16 f1of 6094 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐶𝐹:𝐴𝐶)
1714, 15, 163syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐶)
1817adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐹:𝐴𝐶)
19 fco 6015 . . . 4 (((𝐺𝑔):𝐶𝐵𝐹:𝐴𝐶) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵)
2013, 18, 19syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵)
21 mapfien.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
22 mapfien.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
2321, 22elmapd 7816 . . . 4 (𝜑 → (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ↔ ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵))
2423adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ↔ ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹):𝐴𝐵))
2520, 24mpbird 247 . 2 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ (𝐵𝑚 𝐴))
26 mapfien.s . . 3 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
27 mapfien.w . . 3 𝑊 = (𝐺𝑍)
28 mapfien.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ V)
29 mapfien.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
30 mapfien.z . . 3 (𝜑𝑍𝐵)
3126, 7, 27, 14, 1, 22, 21, 28, 29, 30mapfienlem2 8255 . 2 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) finSupp 𝑍)
32 breq1 4616 . . 3 (𝑥 = ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) → (𝑥 finSupp 𝑍 ↔ ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) finSupp 𝑍))
3332, 26elrab2 3348 . 2 (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ 𝑆 ↔ (((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∧ ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) finSupp 𝑍))
3425, 31, 33sylanbrc 697 1 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  Vcvv 3186   class class class wbr 4613  ccnv 5073  ccom 5078  wf 5843  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑚 cmap 7802   finSupp cfsupp 8219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-1o 7505  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-fin 7903  df-fsupp 8220
This theorem is referenced by:  mapfien  8257
  Copyright terms: Public domain W3C validator