Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapprop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapprop 42449
Description: An unordered pair containing two ordered pairs as an element of the mapping operation. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mapprop.f 𝐹 = {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}
Assertion
Ref Expression
mapprop (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝐹 ∈ (𝑅𝑚 {𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem mapprop
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐴𝑅) → 𝑋𝑉)
2 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑌𝑉𝐵𝑅) → 𝑌𝑉)
31, 2anim12i 589 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅)) → (𝑋𝑉𝑌𝑉))
433adant3 1101 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → (𝑋𝑉𝑌𝑉))
5 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐴𝑅) → 𝐴𝑅)
6 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑌𝑉𝐵𝑅) → 𝐵𝑅)
75, 6anim12i 589 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅)) → (𝐴𝑅𝐵𝑅))
873adant3 1101 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → (𝐴𝑅𝐵𝑅))
9 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑋𝑌𝑅𝑊) → 𝑋𝑌)
1093ad2ant3 1104 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝑋𝑌)
11 fprg 6462 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐴𝑅𝐵𝑅) ∧ 𝑋𝑌) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
124, 8, 10, 11syl3anc 1366 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
13 mapprop.f . . . . 5 𝐹 = {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}
1413feq1i 6074 . . . 4 (𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵} ↔ {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
1512, 14sylibr 224 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
16 prssi 4385 . . . . 5 ((𝐴𝑅𝐵𝑅) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑅)
177, 16syl 17 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅)) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑅)
18173adant3 1101 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑅)
1915, 18fssd 6095 . 2 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶𝑅)
20 simpr 476 . . . 4 ((𝑋𝑌𝑅𝑊) → 𝑅𝑊)
21203ad2ant3 1104 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝑅𝑊)
22 prex 4939 . . 3 {𝑋, 𝑌} ∈ V
23 elmapg 7912 . . 3 ((𝑅𝑊 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑅𝑚 {𝑋, 𝑌}) ↔ 𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶𝑅))
2421, 22, 23sylancl 695 . 2 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → (𝐹 ∈ (𝑅𝑚 {𝑋, 𝑌}) ↔ 𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶𝑅))
2519, 24mpbird 247 1 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝐹 ∈ (𝑅𝑚 {𝑋, 𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  wss 3607  {cpr 4212  cop 4216  wf 5922  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901
This theorem is referenced by:  lincvalpr  42532  ldepspr  42587
  Copyright terms: Public domain W3C validator