Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapprop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapprop 44322
Description: An unordered pair containing two ordered pairs as an element of the mapping operation. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mapprop.f 𝐹 = {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}
Assertion
Ref Expression
mapprop (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝐹 ∈ (𝑅m {𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem mapprop
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐴𝑅) → 𝑋𝑉)
2 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑌𝑉𝐵𝑅) → 𝑌𝑉)
31, 2anim12i 612 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅)) → (𝑋𝑉𝑌𝑉))
433adant3 1124 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → (𝑋𝑉𝑌𝑉))
5 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐴𝑅) → 𝐴𝑅)
6 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑌𝑉𝐵𝑅) → 𝐵𝑅)
75, 6anim12i 612 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅)) → (𝐴𝑅𝐵𝑅))
873adant3 1124 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → (𝐴𝑅𝐵𝑅))
9 simpl 483 . . . . . 6 ((𝑋𝑌𝑅𝑊) → 𝑋𝑌)
1093ad2ant3 1127 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝑋𝑌)
11 fprg 6909 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐴𝑅𝐵𝑅) ∧ 𝑋𝑌) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
124, 8, 10, 11syl3anc 1363 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
13 mapprop.f . . . . 5 𝐹 = {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}
1413feq1i 6498 . . . 4 (𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵} ↔ {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
1512, 14sylibr 235 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
16 prssi 4746 . . . . 5 ((𝐴𝑅𝐵𝑅) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑅)
177, 16syl 17 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅)) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑅)
18173adant3 1124 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑅)
1915, 18fssd 6521 . 2 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶𝑅)
20 simpr 485 . . . 4 ((𝑋𝑌𝑅𝑊) → 𝑅𝑊)
21203ad2ant3 1127 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝑅𝑊)
22 prex 5323 . . 3 {𝑋, 𝑌} ∈ V
23 elmapg 8408 . . 3 ((𝑅𝑊 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑅m {𝑋, 𝑌}) ↔ 𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶𝑅))
2421, 22, 23sylancl 586 . 2 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → (𝐹 ∈ (𝑅m {𝑋, 𝑌}) ↔ 𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶𝑅))
2519, 24mpbird 258 1 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝐹 ∈ (𝑅m {𝑋, 𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  Vcvv 3492  wss 3933  {cpr 4559  cop 4563  wf 6344  (class class class)co 7145  m cmap 8395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397
This theorem is referenced by:  lincvalpr  44401  ldepspr  44456
  Copyright terms: Public domain W3C validator