MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marep01ma Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem marep01ma 20589
Description: Replacing a row of a square matrix by a row with 0's and a 1 results in a square matrix of the same dimension. (Contributed by AV, 30-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
marep01ma.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marep01ma.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
marep01ma.r 𝑅 ∈ CRing
marep01ma.0 0 = (0g𝑅)
marep01ma.1 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
marep01ma (𝑀𝐵 → (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝐻, if(𝑙 = 𝐼, 1 , 0 ), (𝑘𝑀𝑙))) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑙,𝐵   𝑘,𝑀,𝑙   𝑘,𝑁,𝑙   𝑅,𝑘,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑙)   1 (𝑘,𝑙)   𝐻(𝑘,𝑙)   𝐼(𝑘,𝑙)   0 (𝑘,𝑙)

Proof of Theorem marep01ma
StepHypRef Expression
1 marep01ma.a . 2 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2724 . 2 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 marep01ma.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐴)
41, 3matrcl 20341 . . 3 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
54simpld 477 . 2 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
6 marep01ma.r . . 3 𝑅 ∈ CRing
76a1i 11 . 2 (𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing)
8 crngring 18679 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9 marep01ma.1 . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
102, 9ringidcl 18689 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
116, 8, 10mp2b 10 . . . . 5 1 ∈ (Base‘𝑅)
12 marep01ma.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
132, 12ring0cl 18690 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
146, 8, 13mp2b 10 . . . . 5 0 ∈ (Base‘𝑅)
1511, 14keepel 4263 . . . 4 if(𝑙 = 𝐼, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅)
1615a1i 11 . . 3 ((𝑀𝐵𝑘𝑁𝑙𝑁) → if(𝑙 = 𝐼, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
17 simp2 1129 . . . 4 ((𝑀𝐵𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑘𝑁)
18 simp3 1130 . . . 4 ((𝑀𝐵𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑙𝑁)
19 id 22 . . . . . 6 (𝑀𝐵𝑀𝐵)
2019, 3syl6eleq 2813 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
21203ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝑀𝐵𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
221, 2matecl 20354 . . . 4 ((𝑘𝑁𝑙𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑘𝑀𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
2317, 18, 21, 22syl3anc 1439 . . 3 ((𝑀𝐵𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑘𝑀𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
2416, 23ifcld 4239 . 2 ((𝑀𝐵𝑘𝑁𝑙𝑁) → if(𝑘 = 𝐻, if(𝑙 = 𝐼, 1 , 0 ), (𝑘𝑀𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
251, 2, 3, 5, 7, 24matbas2d 20352 1 (𝑀𝐵 → (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝐻, if(𝑙 = 𝐼, 1 , 0 ), (𝑘𝑀𝑙))) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  Vcvv 3304  ifcif 4194  cfv 6001  (class class class)co 6765  cmpt2 6767  Fincfn 8072  Basecbs 15980  0gc0g 16223  1rcur 18622  Ringcrg 18668  CRingccrg 18669   Mat cmat 20336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-ot 4294  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-sup 8464  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-fz 12441  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-hom 16089  df-cco 16090  df-0g 16225  df-prds 16231  df-pws 16233  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-grp 17547  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-cring 18671  df-sra 19295  df-rgmod 19296  df-dsmm 20199  df-frlm 20214  df-mat 20337
This theorem is referenced by:  smadiadetlem0  20590  smadiadetlem1  20591  smadiadet  20599
  Copyright terms: Public domain W3C validator