Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | xpeq1 5571 |
. . . . 5
⊢ (𝑎 = 𝑓 → (𝑎 × 𝑏) = (𝑓 × 𝑏)) |
2 | 1 | pweqd 4560 |
. . . 4
⊢ (𝑎 = 𝑓 → 𝒫 (𝑎 × 𝑏) = 𝒫 (𝑓 × 𝑏)) |
3 | | pweq 4557 |
. . . . . 6
⊢ (𝑎 = 𝑓 → 𝒫 𝑎 = 𝒫 𝑓) |
4 | 3 | raleqdv 3417 |
. . . . 5
⊢ (𝑎 = 𝑓 → (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑))) |
5 | | f1eq2 6573 |
. . . . . 6
⊢ (𝑎 = 𝑓 → (𝑒:𝑎–1-1→V ↔ 𝑒:𝑓–1-1→V)) |
6 | 5 | rexbidv 3299 |
. . . . 5
⊢ (𝑎 = 𝑓 → (∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V ↔ ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑓–1-1→V)) |
7 | 4, 6 | imbi12d 347 |
. . . 4
⊢ (𝑎 = 𝑓 → ((∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V) ↔ (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑓–1-1→V))) |
8 | 2, 7 | raleqbidv 3403 |
. . 3
⊢ (𝑎 = 𝑓 → (∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑓–1-1→V))) |
9 | 8 | imbi2d 343 |
. 2
⊢ (𝑎 = 𝑓 → ((𝑏 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V)) ↔ (𝑏 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑓–1-1→V)))) |
10 | | xpeq1 5571 |
. . . . 5
⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 × 𝑏) = (𝐴 × 𝑏)) |
11 | 10 | pweqd 4560 |
. . . 4
⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝒫 (𝑎 × 𝑏) = 𝒫 (𝐴 × 𝑏)) |
12 | | pweq 4557 |
. . . . . 6
⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝒫 𝑎 = 𝒫 𝐴) |
13 | 12 | raleqdv 3417 |
. . . . 5
⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑))) |
14 | | f1eq2 6573 |
. . . . . 6
⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑒:𝑎–1-1→V ↔ 𝑒:𝐴–1-1→V)) |
15 | 14 | rexbidv 3299 |
. . . . 5
⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V ↔ ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝐴–1-1→V)) |
16 | 13, 15 | imbi12d 347 |
. . . 4
⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V) ↔ (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝐴–1-1→V))) |
17 | 11, 16 | raleqbidv 3403 |
. . 3
⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝐴–1-1→V))) |
18 | 17 | imbi2d 343 |
. 2
⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑏 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V)) ↔ (𝑏 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝐴–1-1→V)))) |
19 | | bi2.04 391 |
. . . . 5
⊢ ((𝑎 ⊊ 𝑓 → (𝑏 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ↔ (𝑏 ∈ Fin → (𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V)))) |
20 | 19 | albii 1820 |
. . . 4
⊢
(∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → (𝑏 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ↔ ∀𝑎(𝑏 ∈ Fin → (𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V)))) |
21 | | 19.21v 1940 |
. . . 4
⊢
(∀𝑎(𝑏 ∈ Fin → (𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ↔ (𝑏 ∈ Fin → ∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V)))) |
22 | 20, 21 | bitri 277 |
. . 3
⊢
(∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → (𝑏 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ↔ (𝑏 ∈ Fin → ∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V)))) |
23 | | 0elpw 5258 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ∅
∈ 𝒫 𝑔 |
24 | | f10 6649 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
∅:∅–1-1→V |
25 | | f1eq1 6572 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑒 = ∅ → (𝑒:∅–1-1→V ↔ ∅:∅–1-1→V)) |
26 | 25 | rspcev 3625 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((∅
∈ 𝒫 𝑔 ∧
∅:∅–1-1→V) →
∃𝑒 ∈ 𝒫
𝑔𝑒:∅–1-1→V) |
27 | 23, 24, 26 | mp2an 690 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
∃𝑒 ∈
𝒫 𝑔𝑒:∅–1-1→V |
28 | | f1eq2 6573 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑒:𝑓–1-1→V ↔ 𝑒:∅–1-1→V)) |
29 | 28 | rexbidv 3299 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑓 = ∅ → (∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V ↔ ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:∅–1-1→V)) |
30 | 27, 29 | mpbiri 260 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑓 = ∅ → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V) |
31 | 30 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → (𝑓 = ∅ → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V)) |
32 | | n0 4312 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑓 ≠ ∅ ↔
∃𝑖 𝑖 ∈ 𝑓) |
33 | | snelpwi 5339 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑖 ∈ 𝑓 → {𝑖} ∈ 𝒫 𝑓) |
34 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑑 = {𝑖} → 𝑑 = {𝑖}) |
35 | | imaeq2 5927 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑑 = {𝑖} → (𝑔 “ 𝑑) = (𝑔 “ {𝑖})) |
36 | 34, 35 | breq12d 5081 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑑 = {𝑖} → (𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑) ↔ {𝑖} ≼ (𝑔 “ {𝑖}))) |
37 | 36 | rspcva 3623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (({𝑖} ∈ 𝒫 𝑓 ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑)) → {𝑖} ≼ (𝑔 “ {𝑖})) |
38 | | vex 3499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ 𝑖 ∈ V |
39 | 38 | snnz 4713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ {𝑖} ≠ ∅ |
40 | | snex 5334 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ {𝑖} ∈ V |
41 | 40 | 0sdom 8650 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (∅
≺ {𝑖} ↔ {𝑖} ≠ ∅) |
42 | 39, 41 | mpbir 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ∅
≺ {𝑖} |
43 | | sdomdomtr 8652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((∅
≺ {𝑖} ∧ {𝑖} ≼ (𝑔 “ {𝑖})) → ∅ ≺ (𝑔 “ {𝑖})) |
44 | 42, 43 | mpan 688 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ({𝑖} ≼ (𝑔 “ {𝑖}) → ∅ ≺ (𝑔 “ {𝑖})) |
45 | | vex 3499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ 𝑔 ∈ V |
46 | 45 | imaex 7623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑔 “ {𝑖}) ∈ V |
47 | 46 | 0sdom 8650 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (∅
≺ (𝑔 “ {𝑖}) ↔ (𝑔 “ {𝑖}) ≠ ∅) |
48 | 44, 47 | sylib 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ({𝑖} ≼ (𝑔 “ {𝑖}) → (𝑔 “ {𝑖}) ≠ ∅) |
49 | 37, 48 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (({𝑖} ∈ 𝒫 𝑓 ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑)) → (𝑔 “ {𝑖}) ≠ ∅) |
50 | 49 | expcom 416 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(∀𝑑 ∈
𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑) → ({𝑖} ∈ 𝒫 𝑓 → (𝑔 “ {𝑖}) ≠ ∅)) |
51 | 33, 50 | syl5 34 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(∀𝑑 ∈
𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑) → (𝑖 ∈ 𝑓 → (𝑔 “ {𝑖}) ≠ ∅)) |
52 | 51 | adantl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑)) → (𝑖 ∈ 𝑓 → (𝑔 “ {𝑖}) ≠ ∅)) |
53 | 52 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → (𝑖 ∈ 𝑓 → (𝑔 “ {𝑖}) ≠ ∅)) |
54 | 53 | impr 457 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑓)) → (𝑔 “ {𝑖}) ≠ ∅) |
55 | | n0 4312 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑔 “ {𝑖}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})) |
56 | 54, 55 | sylib 220 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑓)) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})) |
57 | 45 | imaex 7623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑔 “ 𝑐) ∈ V |
58 | 57 | difexi 5234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ {𝑗}) ∈ V |
59 | 58 | 0dom 8649 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ∅
≼ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ {𝑗}) |
60 | | breq1 5071 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑐 = ∅ → (𝑐 ≼ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ {𝑗}) ↔ ∅ ≼ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ {𝑗}))) |
61 | 59, 60 | mpbiri 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑐 = ∅ → 𝑐 ≼ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ {𝑗})) |
62 | 61 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑓) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})) → (𝑐 = ∅ → 𝑐 ≼ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ {𝑗}))) |
63 | | simpll 765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(((∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑓) ∧ (𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖}) ∧ 𝑐 ≠ ∅)) → ∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) |
64 | | elpwi 4550 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖}) → 𝑐 ⊆ (𝑓 ∖ {𝑖})) |
65 | 64 | ad2antrl 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢
(((∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑓) ∧ (𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖}) ∧ 𝑐 ≠ ∅)) → 𝑐 ⊆ (𝑓 ∖ {𝑖})) |
66 | | difsnpss 4742 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑖 ∈ 𝑓 ↔ (𝑓 ∖ {𝑖}) ⊊ 𝑓) |
67 | 66 | biimpi 218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑖 ∈ 𝑓 → (𝑓 ∖ {𝑖}) ⊊ 𝑓) |
68 | 67 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢
(((∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑓) ∧ (𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖}) ∧ 𝑐 ≠ ∅)) → (𝑓 ∖ {𝑖}) ⊊ 𝑓) |
69 | 65, 68 | sspsstrd 4087 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢
(((∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑓) ∧ (𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖}) ∧ 𝑐 ≠ ∅)) → 𝑐 ⊊ 𝑓) |
70 | | simprr 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢
(((∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑓) ∧ (𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖}) ∧ 𝑐 ≠ ∅)) → 𝑐 ≠ ∅) |
71 | 69, 70 | jca 514 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(((∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑓) ∧ (𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖}) ∧ 𝑐 ≠ ∅)) → (𝑐 ⊊ 𝑓 ∧ 𝑐 ≠ ∅)) |
72 | | psseq1 4066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (ℎ = 𝑐 → (ℎ ⊊ 𝑓 ↔ 𝑐 ⊊ 𝑓)) |
73 | | neeq1 3080 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (ℎ = 𝑐 → (ℎ ≠ ∅ ↔ 𝑐 ≠ ∅)) |
74 | 72, 73 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (ℎ = 𝑐 → ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ↔ (𝑐 ⊊ 𝑓 ∧ 𝑐 ≠ ∅))) |
75 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (ℎ = 𝑐 → ℎ = 𝑐) |
76 | | imaeq2 5927 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (ℎ = 𝑐 → (𝑔 “ ℎ) = (𝑔 “ 𝑐)) |
77 | 75, 76 | breq12d 5081 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (ℎ = 𝑐 → (ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ) ↔ 𝑐 ≺ (𝑔 “ 𝑐))) |
78 | 74, 77 | imbi12d 347 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (ℎ = 𝑐 → (((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ↔ ((𝑐 ⊊ 𝑓 ∧ 𝑐 ≠ ∅) → 𝑐 ≺ (𝑔 “ 𝑐)))) |
79 | 78 | spvv 2003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) → ((𝑐 ⊊ 𝑓 ∧ 𝑐 ≠ ∅) → 𝑐 ≺ (𝑔 “ 𝑐))) |
80 | 63, 71, 79 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
(((∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑓) ∧ (𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖}) ∧ 𝑐 ≠ ∅)) → 𝑐 ≺ (𝑔 “ 𝑐)) |
81 | | domdifsn 8602 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑐 ≺ (𝑔 “ 𝑐) → 𝑐 ≼ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ {𝑗})) |
82 | 80, 81 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
(((∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑓) ∧ (𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖}) ∧ 𝑐 ≠ ∅)) → 𝑐 ≼ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ {𝑗})) |
83 | 82 | expr 459 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑓) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})) → (𝑐 ≠ ∅ → 𝑐 ≼ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ {𝑗}))) |
84 | 62, 83 | pm2.61dne 3105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑓) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})) → 𝑐 ≼ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ {𝑗})) |
85 | 84 | adantlrr 719 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖}))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})) → 𝑐 ≼ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ {𝑗})) |
86 | 85 | adantll 712 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})) → 𝑐 ≼ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ {𝑗})) |
87 | | df-ss 3954 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑐 ⊆ (𝑓 ∖ {𝑖}) ↔ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ {𝑖})) = 𝑐) |
88 | 64, 87 | sylib 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖}) → (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ {𝑖})) = 𝑐) |
89 | 88 | imaeq2d 5931 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖}) → (𝑔 “ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ {𝑖}))) = (𝑔 “ 𝑐)) |
90 | 89 | ineq1d 4190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖}) → ((𝑔 “ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ {𝑖}))) ∩ (𝑏 ∖ {𝑗})) = ((𝑔 “ 𝑐) ∩ (𝑏 ∖ {𝑗}))) |
91 | 90 | adantl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})) → ((𝑔 “ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ {𝑖}))) ∩ (𝑏 ∖ {𝑗})) = ((𝑔 “ 𝑐) ∩ (𝑏 ∖ {𝑗}))) |
92 | | indif2 4249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑔 “ 𝑐) ∩ (𝑏 ∖ {𝑗})) = (((𝑔 “ 𝑐) ∩ 𝑏) ∖ {𝑗}) |
93 | | imassrn 5942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑔 “ 𝑐) ⊆ ran 𝑔 |
94 | | elpwi 4550 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) → 𝑔 ⊆ (𝑓 × 𝑏)) |
95 | | rnss 5811 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑔 ⊆ (𝑓 × 𝑏) → ran 𝑔 ⊆ ran (𝑓 × 𝑏)) |
96 | | rnxpss 6031 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ran
(𝑓 × 𝑏) ⊆ 𝑏 |
97 | 95, 96 | sstrdi 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑔 ⊆ (𝑓 × 𝑏) → ran 𝑔 ⊆ 𝑏) |
98 | 94, 97 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) → ran 𝑔 ⊆ 𝑏) |
99 | 93, 98 | sstrid 3980 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) → (𝑔 “ 𝑐) ⊆ 𝑏) |
100 | | df-ss 3954 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝑔 “ 𝑐) ⊆ 𝑏 ↔ ((𝑔 “ 𝑐) ∩ 𝑏) = (𝑔 “ 𝑐)) |
101 | 99, 100 | sylib 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) → ((𝑔 “ 𝑐) ∩ 𝑏) = (𝑔 “ 𝑐)) |
102 | 101 | difeq1d 4100 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) → (((𝑔 “ 𝑐) ∩ 𝑏) ∖ {𝑗}) = ((𝑔 “ 𝑐) ∖ {𝑗})) |
103 | 102 | ad2antrl 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑓 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) → (((𝑔 “ 𝑐) ∩ 𝑏) ∖ {𝑗}) = ((𝑔 “ 𝑐) ∖ {𝑗})) |
104 | 92, 103 | syl5eq 2870 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑓 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) → ((𝑔 “ 𝑐) ∩ (𝑏 ∖ {𝑗})) = ((𝑔 “ 𝑐) ∖ {𝑗})) |
105 | 104 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})) → ((𝑔 “ 𝑐) ∩ (𝑏 ∖ {𝑗})) = ((𝑔 “ 𝑐) ∖ {𝑗})) |
106 | 91, 105 | eqtrd 2858 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})) → ((𝑔 “ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ {𝑖}))) ∩ (𝑏 ∖ {𝑗})) = ((𝑔 “ 𝑐) ∖ {𝑗})) |
107 | 86, 106 | breqtrrd 5096 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})) → 𝑐 ≼ ((𝑔 “ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ {𝑖}))) ∩ (𝑏 ∖ {𝑗}))) |
108 | 107 | ralrimiva 3184 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝑓 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})))) → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})𝑐 ≼ ((𝑔 “ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ {𝑖}))) ∩ (𝑏 ∖ {𝑗}))) |
109 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑐 = 𝑑 → 𝑐 = 𝑑) |
110 | | imainrect 6040 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) “ 𝑐) = ((𝑔 “ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ {𝑖}))) ∩ (𝑏 ∖ {𝑗})) |
111 | | imaeq2 5927 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑐 = 𝑑 → ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) “ 𝑐) = ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) “ 𝑑)) |
112 | 110, 111 | syl5eqr 2872 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑐 = 𝑑 → ((𝑔 “ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ {𝑖}))) ∩ (𝑏 ∖ {𝑗})) = ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) “ 𝑑)) |
113 | 109, 112 | breq12d 5081 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐 ≼ ((𝑔 “ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ {𝑖}))) ∩ (𝑏 ∖ {𝑗})) ↔ 𝑑 ≼ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) “ 𝑑))) |
114 | 113 | cbvralvw 3451 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(∀𝑐 ∈
𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})𝑐 ≼ ((𝑔 “ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ {𝑖}))) ∩ (𝑏 ∖ {𝑗})) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})𝑑 ≼ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) “ 𝑑)) |
115 | 108, 114 | sylib 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝑓 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})))) → ∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})𝑑 ≼ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) “ 𝑑)) |
116 | 115 | adantllr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})))) → ∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})𝑑 ≼ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) “ 𝑑)) |
117 | | inss2 4208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) ⊆ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})) |
118 | | difss 4110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑏 ∖ {𝑗}) ⊆ 𝑏 |
119 | | xpss2 5577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑏 ∖ {𝑗}) ⊆ 𝑏 → ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})) ⊆ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × 𝑏)) |
120 | 118, 119 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})) ⊆ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × 𝑏) |
121 | 117, 120 | sstri 3978 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) ⊆ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × 𝑏) |
122 | 45 | inex1 5223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) ∈ V |
123 | 122 | elpw 4545 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) ∈ 𝒫 ((𝑓 ∖ {𝑖}) × 𝑏) ↔ (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) ⊆ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × 𝑏)) |
124 | 121, 123 | mpbir 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) ∈ 𝒫 ((𝑓 ∖ {𝑖}) × 𝑏) |
125 | | simpllr 774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})))) → ∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) |
126 | 67 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})) → (𝑓 ∖ {𝑖}) ⊊ 𝑓) |
127 | 126 | ad2antll 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})))) → (𝑓 ∖ {𝑖}) ⊊ 𝑓) |
128 | | vex 3499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ 𝑓 ∈ V |
129 | 128 | difexi 5234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑓 ∖ {𝑖}) ∈ V |
130 | | psseq1 4066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑎 = (𝑓 ∖ {𝑖}) → (𝑎 ⊊ 𝑓 ↔ (𝑓 ∖ {𝑖}) ⊊ 𝑓)) |
131 | | xpeq1 5571 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑎 = (𝑓 ∖ {𝑖}) → (𝑎 × 𝑏) = ((𝑓 ∖ {𝑖}) × 𝑏)) |
132 | 131 | pweqd 4560 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑎 = (𝑓 ∖ {𝑖}) → 𝒫 (𝑎 × 𝑏) = 𝒫 ((𝑓 ∖ {𝑖}) × 𝑏)) |
133 | | pweq 4557 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑎 = (𝑓 ∖ {𝑖}) → 𝒫 𝑎 = 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})) |
134 | 133 | raleqdv 3417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑎 = (𝑓 ∖ {𝑖}) → (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑))) |
135 | | f1eq2 6573 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑎 = (𝑓 ∖ {𝑖}) → (𝑒:𝑎–1-1→V ↔ 𝑒:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V)) |
136 | 135 | rexbidv 3299 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑎 = (𝑓 ∖ {𝑖}) → (∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V ↔ ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V)) |
137 | 134, 136 | imbi12d 347 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑎 = (𝑓 ∖ {𝑖}) → ((∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V) ↔ (∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V))) |
138 | 132, 137 | raleqbidv 3403 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑎 = (𝑓 ∖ {𝑖}) → (∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 ((𝑓 ∖ {𝑖}) × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V))) |
139 | 130, 138 | imbi12d 347 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑎 = (𝑓 ∖ {𝑖}) → ((𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V)) ↔ ((𝑓 ∖ {𝑖}) ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 ((𝑓 ∖ {𝑖}) × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V)))) |
140 | 129, 139 | spcv 3608 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V)) → ((𝑓 ∖ {𝑖}) ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 ((𝑓 ∖ {𝑖}) × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V))) |
141 | 125, 127,
140 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})))) → ∀𝑐 ∈ 𝒫 ((𝑓 ∖ {𝑖}) × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V)) |
142 | | imaeq1 5926 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑐 = (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) → (𝑐 “ 𝑑) = ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) “ 𝑑)) |
143 | 142 | breq2d 5080 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑐 = (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) → (𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) ↔ 𝑑 ≼ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) “ 𝑑))) |
144 | 143 | ralbidv 3199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑐 = (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) → (∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})𝑑 ≼ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) “ 𝑑))) |
145 | | pweq 4557 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑐 = (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) → 𝒫 𝑐 = 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})))) |
146 | 145 | rexeqdv 3418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑐 = (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) → (∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V ↔ ∃𝑒 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})))𝑒:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V)) |
147 | 144, 146 | imbi12d 347 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑐 = (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) → ((∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V) ↔ (∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})𝑑 ≼ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})))𝑒:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V))) |
148 | 147 | rspcva 3623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) ∈ 𝒫 ((𝑓 ∖ {𝑖}) × 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝒫 ((𝑓 ∖ {𝑖}) × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V)) → (∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})𝑑 ≼ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})))𝑒:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V)) |
149 | 124, 141,
148 | sylancr 589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})))) → (∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ {𝑖})𝑑 ≼ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})))𝑒:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V)) |
150 | 116, 149 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})))) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})))𝑒:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V) |
151 | | f1eq1 6572 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑒 = 𝑘 → (𝑒:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V ↔ 𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V)) |
152 | 151 | cbvrexvw 3452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(∃𝑒 ∈
𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})))𝑒:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V ↔ ∃𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})))𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V) |
153 | 150, 152 | sylib 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})))) → ∃𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})))𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V) |
154 | | vex 3499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ 𝑗 ∈ V |
155 | 38, 154 | elimasn 5956 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖}) ↔ 〈𝑖, 𝑗〉 ∈ 𝑔) |
156 | 155 | biimpi 218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖}) → 〈𝑖, 𝑗〉 ∈ 𝑔) |
157 | 156 | snssd 4744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖}) → {〈𝑖, 𝑗〉} ⊆ 𝑔) |
158 | 157 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})))) → {〈𝑖, 𝑗〉} ⊆ 𝑔) |
159 | | elpwi 4550 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) → 𝑘 ⊆ (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})))) |
160 | | inss1 4207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) ⊆ 𝑔 |
161 | 159, 160 | sstrdi 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) → 𝑘 ⊆ 𝑔) |
162 | 161 | adantl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})))) → 𝑘 ⊆ 𝑔) |
163 | 158, 162 | unssd 4164 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})))) → ({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘) ⊆ 𝑔) |
164 | 45 | elpw2 5250 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘) ∈ 𝒫 𝑔 ↔ ({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘) ⊆ 𝑔) |
165 | 163, 164 | sylibr 236 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})))) → ({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘) ∈ 𝒫 𝑔) |
166 | 165 | ad2ant2lr 746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖}))) ∧ (𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V)) → ({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘) ∈ 𝒫 𝑔) |
167 | 38, 154 | f1osn 6656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
{〈𝑖, 𝑗〉}:{𝑖}–1-1-onto→{𝑗} |
168 | 167 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V) → {〈𝑖, 𝑗〉}:{𝑖}–1-1-onto→{𝑗}) |
169 | | f1f1orn 6628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V → 𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1-onto→ran
𝑘) |
170 | 169 | adantl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V) → 𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1-onto→ran
𝑘) |
171 | | disjdif 4423 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ({𝑖} ∩ (𝑓 ∖ {𝑖})) = ∅ |
172 | 171 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V) → ({𝑖} ∩ (𝑓 ∖ {𝑖})) = ∅) |
173 | | incom 4180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ({𝑗} ∩ ran 𝑘) = (ran 𝑘 ∩ {𝑗}) |
174 | 159, 117 | sstrdi 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) → 𝑘 ⊆ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) |
175 | | rnss 5811 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑘 ⊆ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})) → ran 𝑘 ⊆ ran ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) |
176 | | rnxpss 6031 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ran
((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})) ⊆ (𝑏 ∖ {𝑗}) |
177 | 175, 176 | sstrdi 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑘 ⊆ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})) → ran 𝑘 ⊆ (𝑏 ∖ {𝑗})) |
178 | 174, 177 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) → ran 𝑘 ⊆ (𝑏 ∖ {𝑗})) |
179 | | incom 4180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑏 ∖ {𝑗}) ∩ {𝑗}) = ({𝑗} ∩ (𝑏 ∖ {𝑗})) |
180 | | disjdif 4423 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ({𝑗} ∩ (𝑏 ∖ {𝑗})) = ∅ |
181 | 179, 180 | eqtri 2846 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝑏 ∖ {𝑗}) ∩ {𝑗}) = ∅ |
182 | | ssdisj 4411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((ran
𝑘 ⊆ (𝑏 ∖ {𝑗}) ∧ ((𝑏 ∖ {𝑗}) ∩ {𝑗}) = ∅) → (ran 𝑘 ∩ {𝑗}) = ∅) |
183 | 178, 181,
182 | sylancl 588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) → (ran 𝑘 ∩ {𝑗}) = ∅) |
184 | 173, 183 | syl5eq 2870 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) → ({𝑗} ∩ ran 𝑘) = ∅) |
185 | 184 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V) → ({𝑗} ∩ ran 𝑘) = ∅) |
186 | | f1oun 6636 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
((({〈𝑖, 𝑗〉}:{𝑖}–1-1-onto→{𝑗} ∧ 𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1-onto→ran
𝑘) ∧ (({𝑖} ∩ (𝑓 ∖ {𝑖})) = ∅ ∧ ({𝑗} ∩ ran 𝑘) = ∅)) → ({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘):({𝑖} ∪ (𝑓 ∖ {𝑖}))–1-1-onto→({𝑗} ∪ ran 𝑘)) |
187 | 168, 170,
172, 185, 186 | syl22anc 836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V) → ({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘):({𝑖} ∪ (𝑓 ∖ {𝑖}))–1-1-onto→({𝑗} ∪ ran 𝑘)) |
188 | 187 | adantl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖}))) ∧ (𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V)) → ({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘):({𝑖} ∪ (𝑓 ∖ {𝑖}))–1-1-onto→({𝑗} ∪ ran 𝑘)) |
189 | | snssi 4743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑖 ∈ 𝑓 → {𝑖} ⊆ 𝑓) |
190 | 189 | ad2antrl 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖}))) → {𝑖} ⊆ 𝑓) |
191 | | undif 4432 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ({𝑖} ⊆ 𝑓 ↔ ({𝑖} ∪ (𝑓 ∖ {𝑖})) = 𝑓) |
192 | 190, 191 | sylib 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖}))) → ({𝑖} ∪ (𝑓 ∖ {𝑖})) = 𝑓) |
193 | 192 | f1oeq2d 6613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖}))) → (({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘):({𝑖} ∪ (𝑓 ∖ {𝑖}))–1-1-onto→({𝑗} ∪ ran 𝑘) ↔ ({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘):𝑓–1-1-onto→({𝑗} ∪ ran 𝑘))) |
194 | 193 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖}))) ∧ (𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V)) → (({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘):({𝑖} ∪ (𝑓 ∖ {𝑖}))–1-1-onto→({𝑗} ∪ ran 𝑘) ↔ ({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘):𝑓–1-1-onto→({𝑗} ∪ ran 𝑘))) |
195 | 188, 194 | mpbid 234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖}))) ∧ (𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V)) → ({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘):𝑓–1-1-onto→({𝑗} ∪ ran 𝑘)) |
196 | | f1of1 6616 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘):𝑓–1-1-onto→({𝑗} ∪ ran 𝑘) → ({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘):𝑓–1-1→({𝑗} ∪ ran 𝑘)) |
197 | | ssv 3993 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ({𝑗} ∪ ran 𝑘) ⊆ V |
198 | | f1ss 6582 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
((({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘):𝑓–1-1→({𝑗} ∪ ran 𝑘) ∧ ({𝑗} ∪ ran 𝑘) ⊆ V) → ({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘):𝑓–1-1→V) |
199 | 196, 197,
198 | sylancl 588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘):𝑓–1-1-onto→({𝑗} ∪ ran 𝑘) → ({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘):𝑓–1-1→V) |
200 | 195, 199 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖}))) ∧ (𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V)) → ({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘):𝑓–1-1→V) |
201 | | f1eq1 6572 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑒 = ({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘) → (𝑒:𝑓–1-1→V ↔ ({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘):𝑓–1-1→V)) |
202 | 201 | rspcev 3625 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
((({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘) ∈ 𝒫 𝑔 ∧ ({〈𝑖, 𝑗〉} ∪ 𝑘):𝑓–1-1→V) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V) |
203 | 166, 200,
202 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖}))) ∧ (𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗}))) ∧ 𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V)) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V) |
204 | 203 | rexlimdvaa 3287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖}))) → (∃𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})))𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V)) |
205 | 204 | ex 415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) → ((𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})) → (∃𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})))𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V))) |
206 | 205 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑)) → ((𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})) → (∃𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})))𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V))) |
207 | 206 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝑓 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → ((𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})) → (∃𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})))𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V))) |
208 | 207 | impr 457 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝑓 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})))) → (∃𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})))𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V)) |
209 | 208 | adantllr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})))) → (∃𝑘 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ {𝑖}) × (𝑏 ∖ {𝑗})))𝑘:(𝑓 ∖ {𝑖})–1-1→V → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V)) |
210 | 153, 209 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})))) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V) |
211 | 210 | expr 459 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → ((𝑖 ∈ 𝑓 ∧ 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖})) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V)) |
212 | 211 | expd 418 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → (𝑖 ∈ 𝑓 → (𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖}) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V))) |
213 | 212 | impr 457 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑓)) → (𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖}) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V)) |
214 | 213 | exlimdv 1934 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑓)) → (∃𝑗 𝑗 ∈ (𝑔 “ {𝑖}) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V)) |
215 | 56, 214 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ (∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑓)) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V) |
216 | 215 | expr 459 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → (𝑖 ∈ 𝑓 → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V)) |
217 | 216 | exlimdv 1934 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → (∃𝑖 𝑖 ∈ 𝑓 → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V)) |
218 | 32, 217 | syl5bi 244 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → (𝑓 ≠ ∅ → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V)) |
219 | 31, 218 | pm2.61dne 3105 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V) |
220 | | exanali 1859 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) ↔ ¬ ∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) |
221 | | simprll 777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → ℎ ⊊ 𝑓) |
222 | | pssss 4074 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (ℎ ⊊ 𝑓 → ℎ ⊆ 𝑓) |
223 | 221, 222 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → ℎ ⊆ 𝑓) |
224 | 223 | sspwd 4556 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → 𝒫 ℎ ⊆ 𝒫 𝑓) |
225 | | simplrr 776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑)) |
226 | | ssralv 4035 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(𝒫 ℎ ⊆
𝒫 𝑓 →
(∀𝑑 ∈ 𝒫
𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑) → ∀𝑑 ∈ 𝒫 ℎ𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) |
227 | 224, 225,
226 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → ∀𝑑 ∈ 𝒫 ℎ𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑)) |
228 | | elpwi 4550 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑑 ∈ 𝒫 ℎ → 𝑑 ⊆ ℎ) |
229 | | resima2 5890 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑑 ⊆ ℎ → ((𝑔 ↾ ℎ) “ 𝑑) = (𝑔 “ 𝑑)) |
230 | 228, 229 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑑 ∈ 𝒫 ℎ → ((𝑔 ↾ ℎ) “ 𝑑) = (𝑔 “ 𝑑)) |
231 | 230 | eqcomd 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑑 ∈ 𝒫 ℎ → (𝑔 “ 𝑑) = ((𝑔 ↾ ℎ) “ 𝑑)) |
232 | 231 | breq2d 5080 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑑 ∈ 𝒫 ℎ → (𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑) ↔ 𝑑 ≼ ((𝑔 ↾ ℎ) “ 𝑑))) |
233 | 232 | ralbiia 3166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(∀𝑑 ∈
𝒫 ℎ𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝒫 ℎ𝑑 ≼ ((𝑔 ↾ ℎ) “ 𝑑)) |
234 | 227, 233 | sylib 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → ∀𝑑 ∈ 𝒫 ℎ𝑑 ≼ ((𝑔 ↾ ℎ) “ 𝑑)) |
235 | | imaeq1 5926 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑐 = (𝑔 ↾ ℎ) → (𝑐 “ 𝑑) = ((𝑔 ↾ ℎ) “ 𝑑)) |
236 | 235 | breq2d 5080 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑐 = (𝑔 ↾ ℎ) → (𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) ↔ 𝑑 ≼ ((𝑔 ↾ ℎ) “ 𝑑))) |
237 | 236 | ralbidv 3199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑐 = (𝑔 ↾ ℎ) → (∀𝑑 ∈ 𝒫 ℎ𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝒫 ℎ𝑑 ≼ ((𝑔 ↾ ℎ) “ 𝑑))) |
238 | | pweq 4557 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑐 = (𝑔 ↾ ℎ) → 𝒫 𝑐 = 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ)) |
239 | 238 | rexeqdv 3418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑐 = (𝑔 ↾ ℎ) → (∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:ℎ–1-1→V ↔ ∃𝑒 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ)𝑒:ℎ–1-1→V)) |
240 | 237, 239 | imbi12d 347 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑐 = (𝑔 ↾ ℎ) → ((∀𝑑 ∈ 𝒫 ℎ𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:ℎ–1-1→V) ↔ (∀𝑑 ∈ 𝒫 ℎ𝑑 ≼ ((𝑔 ↾ ℎ) “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ)𝑒:ℎ–1-1→V))) |
241 | | simpllr 774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → ∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) |
242 | | psseq1 4066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑎 = ℎ → (𝑎 ⊊ 𝑓 ↔ ℎ ⊊ 𝑓)) |
243 | | xpeq1 5571 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑎 = ℎ → (𝑎 × 𝑏) = (ℎ × 𝑏)) |
244 | 243 | pweqd 4560 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑎 = ℎ → 𝒫 (𝑎 × 𝑏) = 𝒫 (ℎ × 𝑏)) |
245 | | pweq 4557 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑎 = ℎ → 𝒫 𝑎 = 𝒫 ℎ) |
246 | 245 | raleqdv 3417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑎 = ℎ → (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝒫 ℎ𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑))) |
247 | | f1eq2 6573 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑎 = ℎ → (𝑒:𝑎–1-1→V ↔ 𝑒:ℎ–1-1→V)) |
248 | 247 | rexbidv 3299 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑎 = ℎ → (∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V ↔ ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:ℎ–1-1→V)) |
249 | 246, 248 | imbi12d 347 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑎 = ℎ → ((∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V) ↔ (∀𝑑 ∈ 𝒫 ℎ𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:ℎ–1-1→V))) |
250 | 244, 249 | raleqbidv 3403 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑎 = ℎ → (∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 (ℎ × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 ℎ𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:ℎ–1-1→V))) |
251 | 242, 250 | imbi12d 347 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑎 = ℎ → ((𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V)) ↔ (ℎ ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (ℎ × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 ℎ𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:ℎ–1-1→V)))) |
252 | 251 | spvv 2003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V)) → (ℎ ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (ℎ × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 ℎ𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:ℎ–1-1→V))) |
253 | 241, 221,
252 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (ℎ × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 ℎ𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:ℎ–1-1→V)) |
254 | | simplrl 775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏)) |
255 | | ssres 5882 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑔 ⊆ (𝑓 × 𝑏) → (𝑔 ↾ ℎ) ⊆ ((𝑓 × 𝑏) ↾ ℎ)) |
256 | | df-res 5569 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑓 × 𝑏) ↾ ℎ) = ((𝑓 × 𝑏) ∩ (ℎ × V)) |
257 | | inxp 5705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑓 × 𝑏) ∩ (ℎ × V)) = ((𝑓 ∩ ℎ) × (𝑏 ∩ V)) |
258 | | inss2 4208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑓 ∩ ℎ) ⊆ ℎ |
259 | | inss1 4207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑏 ∩ V) ⊆ 𝑏 |
260 | | xpss12 5572 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑓 ∩ ℎ) ⊆ ℎ ∧ (𝑏 ∩ V) ⊆ 𝑏) → ((𝑓 ∩ ℎ) × (𝑏 ∩ V)) ⊆ (ℎ × 𝑏)) |
261 | 258, 259,
260 | mp2an 690 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑓 ∩ ℎ) × (𝑏 ∩ V)) ⊆ (ℎ × 𝑏) |
262 | 257, 261 | eqsstri 4003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑓 × 𝑏) ∩ (ℎ × V)) ⊆ (ℎ × 𝑏) |
263 | 256, 262 | eqsstri 4003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑓 × 𝑏) ↾ ℎ) ⊆ (ℎ × 𝑏) |
264 | 255, 263 | sstrdi 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑔 ⊆ (𝑓 × 𝑏) → (𝑔 ↾ ℎ) ⊆ (ℎ × 𝑏)) |
265 | 94, 264 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) → (𝑔 ↾ ℎ) ⊆ (ℎ × 𝑏)) |
266 | 45 | resex 5901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑔 ↾ ℎ) ∈ V |
267 | 266 | elpw 4545 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑔 ↾ ℎ) ∈ 𝒫 (ℎ × 𝑏) ↔ (𝑔 ↾ ℎ) ⊆ (ℎ × 𝑏)) |
268 | 265, 267 | sylibr 236 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) → (𝑔 ↾ ℎ) ∈ 𝒫 (ℎ × 𝑏)) |
269 | 254, 268 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → (𝑔 ↾ ℎ) ∈ 𝒫 (ℎ × 𝑏)) |
270 | 240, 253,
269 | rspcdva 3627 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → (∀𝑑 ∈ 𝒫 ℎ𝑑 ≼ ((𝑔 ↾ ℎ) “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ)𝑒:ℎ–1-1→V)) |
271 | 234, 270 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ)𝑒:ℎ–1-1→V) |
272 | | f1eq1 6572 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑒 = 𝑖 → (𝑒:ℎ–1-1→V ↔ 𝑖:ℎ–1-1→V)) |
273 | 272 | cbvrexvw 3452 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(∃𝑒 ∈
𝒫 (𝑔 ↾ ℎ)𝑒:ℎ–1-1→V ↔ ∃𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ)𝑖:ℎ–1-1→V) |
274 | 271, 273 | sylib 220 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ)𝑖:ℎ–1-1→V) |
275 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑑 = (ℎ ∪ 𝑐) → 𝑑 = (ℎ ∪ 𝑐)) |
276 | | imaeq2 5927 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑑 = (ℎ ∪ 𝑐) → (𝑔 “ 𝑑) = (𝑔 “ (ℎ ∪ 𝑐))) |
277 | 275, 276 | breq12d 5081 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑑 = (ℎ ∪ 𝑐) → (𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑) ↔ (ℎ ∪ 𝑐) ≼ (𝑔 “ (ℎ ∪ 𝑐)))) |
278 | | simprr 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑓 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) → ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑)) |
279 | 278 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑)) |
280 | 222 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) → ℎ ⊆ 𝑓) |
281 | 280 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → ℎ ⊆ 𝑓) |
282 | | elpwi 4550 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ) → 𝑐 ⊆ (𝑓 ∖ ℎ)) |
283 | | difss 4110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑓 ∖ ℎ) ⊆ 𝑓 |
284 | 282, 283 | sstrdi 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ) → 𝑐 ⊆ 𝑓) |
285 | 284 | adantl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → 𝑐 ⊆ 𝑓) |
286 | 281, 285 | unssd 4164 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → (ℎ ∪ 𝑐) ⊆ 𝑓) |
287 | 128 | elpw2 5250 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((ℎ ∪ 𝑐) ∈ 𝒫 𝑓 ↔ (ℎ ∪ 𝑐) ⊆ 𝑓) |
288 | 286, 287 | sylibr 236 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → (ℎ ∪ 𝑐) ∈ 𝒫 𝑓) |
289 | 277, 279,
288 | rspcdva 3627 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → (ℎ ∪ 𝑐) ≼ (𝑔 “ (ℎ ∪ 𝑐))) |
290 | | imaundi 6010 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑔 “ (ℎ ∪ 𝑐)) = ((𝑔 “ ℎ) ∪ (𝑔 “ 𝑐)) |
291 | | undif2 4427 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑔 “ ℎ) ∪ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ (𝑔 “ ℎ))) = ((𝑔 “ ℎ) ∪ (𝑔 “ 𝑐)) |
292 | 290, 291 | eqtr4i 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑔 “ (ℎ ∪ 𝑐)) = ((𝑔 “ ℎ) ∪ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ (𝑔 “ ℎ))) |
293 | 289, 292 | breqtrdi 5109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → (ℎ ∪ 𝑐) ≼ ((𝑔 “ ℎ) ∪ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ (𝑔 “ ℎ)))) |
294 | | simp-4l 781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → 𝑓 ∈ Fin) |
295 | 294, 281 | ssfid 8743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → ℎ ∈ Fin) |
296 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑑 = ℎ → 𝑑 = ℎ) |
297 | | imaeq2 5927 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑑 = ℎ → (𝑔 “ 𝑑) = (𝑔 “ ℎ)) |
298 | 296, 297 | breq12d 5081 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑑 = ℎ → (𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑) ↔ ℎ ≼ (𝑔 “ ℎ))) |
299 | | vex 3499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ℎ ∈ V |
300 | 299 | elpw 4545 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (ℎ ∈ 𝒫 𝑓 ↔ ℎ ⊆ 𝑓) |
301 | 281, 300 | sylibr 236 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → ℎ ∈ 𝒫 𝑓) |
302 | 298, 279,
301 | rspcdva 3627 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → ℎ ≼ (𝑔 “ ℎ)) |
303 | | simplrr 776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) |
304 | | bren2 8542 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (ℎ ≈ (𝑔 “ ℎ) ↔ (ℎ ≼ (𝑔 “ ℎ) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) |
305 | 302, 303,
304 | sylanbrc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → ℎ ≈ (𝑔 “ ℎ)) |
306 | 305 | ensymd 8562 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → (𝑔 “ ℎ) ≈ ℎ) |
307 | | incom 4180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (ℎ ∩ 𝑐) = (𝑐 ∩ ℎ) |
308 | | ssdifin0 4433 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑐 ⊆ (𝑓 ∖ ℎ) → (𝑐 ∩ ℎ) = ∅) |
309 | 307, 308 | syl5eq 2870 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑐 ⊆ (𝑓 ∖ ℎ) → (ℎ ∩ 𝑐) = ∅) |
310 | 282, 309 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ) → (ℎ ∩ 𝑐) = ∅) |
311 | 310 | adantl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → (ℎ ∩ 𝑐) = ∅) |
312 | | disjdif 4423 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑔 “ ℎ) ∩ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ (𝑔 “ ℎ))) = ∅ |
313 | 312 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → ((𝑔 “ ℎ) ∩ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ (𝑔 “ ℎ))) = ∅) |
314 | | domunfican 8793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((ℎ ∈ Fin ∧ (𝑔 “ ℎ) ≈ ℎ) ∧ ((ℎ ∩ 𝑐) = ∅ ∧ ((𝑔 “ ℎ) ∩ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ (𝑔 “ ℎ))) = ∅)) → ((ℎ ∪ 𝑐) ≼ ((𝑔 “ ℎ) ∪ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ (𝑔 “ ℎ))) ↔ 𝑐 ≼ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ (𝑔 “ ℎ)))) |
315 | 295, 306,
311, 313, 314 | syl22anc 836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → ((ℎ ∪ 𝑐) ≼ ((𝑔 “ ℎ) ∪ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ (𝑔 “ ℎ))) ↔ 𝑐 ≼ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ (𝑔 “ ℎ)))) |
316 | 293, 315 | mpbid 234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → 𝑐 ≼ ((𝑔 “ 𝑐) ∖ (𝑔 “ ℎ))) |
317 | 101 | difeq1d 4100 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) → (((𝑔 “ 𝑐) ∩ 𝑏) ∖ (𝑔 “ ℎ)) = ((𝑔 “ 𝑐) ∖ (𝑔 “ ℎ))) |
318 | 317 | ad2antrl 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑓 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) → (((𝑔 “ 𝑐) ∩ 𝑏) ∖ (𝑔 “ ℎ)) = ((𝑔 “ 𝑐) ∖ (𝑔 “ ℎ))) |
319 | 318 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → (((𝑔 “ 𝑐) ∩ 𝑏) ∖ (𝑔 “ ℎ)) = ((𝑔 “ 𝑐) ∖ (𝑔 “ ℎ))) |
320 | 316, 319 | breqtrrd 5096 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → 𝑐 ≼ (((𝑔 “ 𝑐) ∩ 𝑏) ∖ (𝑔 “ ℎ))) |
321 | | df-ss 3954 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑐 ⊆ (𝑓 ∖ ℎ) ↔ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ ℎ)) = 𝑐) |
322 | 282, 321 | sylib 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ) → (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ ℎ)) = 𝑐) |
323 | 322 | imaeq2d 5931 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ) → (𝑔 “ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ ℎ))) = (𝑔 “ 𝑐)) |
324 | 323 | ineq1d 4190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ) → ((𝑔 “ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ ℎ))) ∩ (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))) = ((𝑔 “ 𝑐) ∩ (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) |
325 | | indif2 4249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑔 “ 𝑐) ∩ (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))) = (((𝑔 “ 𝑐) ∩ 𝑏) ∖ (𝑔 “ ℎ)) |
326 | 324, 325 | syl6eq 2874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ) → ((𝑔 “ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ ℎ))) ∩ (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))) = (((𝑔 “ 𝑐) ∩ 𝑏) ∖ (𝑔 “ ℎ))) |
327 | 326 | adantl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → ((𝑔 “ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ ℎ))) ∩ (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))) = (((𝑔 “ 𝑐) ∩ 𝑏) ∖ (𝑔 “ ℎ))) |
328 | 320, 327 | breqtrrd 5096 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
(𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) → 𝑐 ≼ ((𝑔 “ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ ℎ))) ∩ (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) |
329 | 328 | ralrimiva 3184 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑓 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)𝑐 ≼ ((𝑔 “ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ ℎ))) ∩ (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) |
330 | | imainrect 6040 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) “ 𝑐) = ((𝑔 “ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ ℎ))) ∩ (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))) |
331 | | imaeq2 5927 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑐 = 𝑑 → ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) “ 𝑐) = ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) “ 𝑑)) |
332 | 330, 331 | syl5eqr 2872 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑐 = 𝑑 → ((𝑔 “ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ ℎ))) ∩ (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))) = ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) “ 𝑑)) |
333 | 109, 332 | breq12d 5081 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐 ≼ ((𝑔 “ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ ℎ))) ∩ (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))) ↔ 𝑑 ≼ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) “ 𝑑))) |
334 | 333 | cbvralvw 3451 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(∀𝑐 ∈
𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)𝑐 ≼ ((𝑔 “ (𝑐 ∩ (𝑓 ∖ ℎ))) ∩ (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)𝑑 ≼ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) “ 𝑑)) |
335 | 329, 334 | sylib 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑓 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → ∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)𝑑 ≼ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) “ 𝑑)) |
336 | 335 | adantllr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → ∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)𝑑 ≼ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) “ 𝑑)) |
337 | | inss2 4208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ⊆ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))) |
338 | | difss 4110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)) ⊆ 𝑏 |
339 | | xpss2 5577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)) ⊆ 𝑏 → ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))) ⊆ ((𝑓 ∖ ℎ) × 𝑏)) |
340 | 338, 339 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))) ⊆ ((𝑓 ∖ ℎ) × 𝑏) |
341 | 337, 340 | sstri 3978 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ⊆ ((𝑓 ∖ ℎ) × 𝑏) |
342 | 45 | inex1 5223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∈ V |
343 | 342 | elpw 4545 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∈ 𝒫 ((𝑓 ∖ ℎ) × 𝑏) ↔ (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ⊆ ((𝑓 ∖ ℎ) × 𝑏)) |
344 | 341, 343 | mpbir 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∈ 𝒫 ((𝑓 ∖ ℎ) × 𝑏) |
345 | | incom 4180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑓 ∩ ℎ) = (ℎ ∩ 𝑓) |
346 | | df-ss 3954 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (ℎ ⊆ 𝑓 ↔ (ℎ ∩ 𝑓) = ℎ) |
347 | 222, 346 | sylib 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (ℎ ⊊ 𝑓 → (ℎ ∩ 𝑓) = ℎ) |
348 | 345, 347 | syl5eq 2870 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (ℎ ⊊ 𝑓 → (𝑓 ∩ ℎ) = ℎ) |
349 | 348 | neeq1d 3077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (ℎ ⊊ 𝑓 → ((𝑓 ∩ ℎ) ≠ ∅ ↔ ℎ ≠ ∅)) |
350 | 349 | biimpar 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → (𝑓 ∩ ℎ) ≠ ∅) |
351 | | disj4 4410 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑓 ∩ ℎ) = ∅ ↔ ¬ (𝑓 ∖ ℎ) ⊊ 𝑓) |
352 | 351 | bicomi 226 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (¬
(𝑓 ∖ ℎ) ⊊ 𝑓 ↔ (𝑓 ∩ ℎ) = ∅) |
353 | 352 | necon1abii 3066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑓 ∩ ℎ) ≠ ∅ ↔ (𝑓 ∖ ℎ) ⊊ 𝑓) |
354 | 350, 353 | sylib 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → (𝑓 ∖ ℎ) ⊊ 𝑓) |
355 | 354 | ad2antrl 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → (𝑓 ∖ ℎ) ⊊ 𝑓) |
356 | 128 | difexi 5234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑓 ∖ ℎ) ∈ V |
357 | | psseq1 4066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑎 = (𝑓 ∖ ℎ) → (𝑎 ⊊ 𝑓 ↔ (𝑓 ∖ ℎ) ⊊ 𝑓)) |
358 | | xpeq1 5571 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑎 = (𝑓 ∖ ℎ) → (𝑎 × 𝑏) = ((𝑓 ∖ ℎ) × 𝑏)) |
359 | 358 | pweqd 4560 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑎 = (𝑓 ∖ ℎ) → 𝒫 (𝑎 × 𝑏) = 𝒫 ((𝑓 ∖ ℎ) × 𝑏)) |
360 | | pweq 4557 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑎 = (𝑓 ∖ ℎ) → 𝒫 𝑎 = 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)) |
361 | 360 | raleqdv 3417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑎 = (𝑓 ∖ ℎ) → (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑))) |
362 | | f1eq2 6573 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑎 = (𝑓 ∖ ℎ) → (𝑒:𝑎–1-1→V ↔ 𝑒:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) |
363 | 362 | rexbidv 3299 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑎 = (𝑓 ∖ ℎ) → (∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V ↔ ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) |
364 | 361, 363 | imbi12d 347 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑎 = (𝑓 ∖ ℎ) → ((∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V) ↔ (∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V))) |
365 | 359, 364 | raleqbidv 3403 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑎 = (𝑓 ∖ ℎ) → (∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 ((𝑓 ∖ ℎ) × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V))) |
366 | 357, 365 | imbi12d 347 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑎 = (𝑓 ∖ ℎ) → ((𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V)) ↔ ((𝑓 ∖ ℎ) ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 ((𝑓 ∖ ℎ) × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)))) |
367 | 356, 366 | spcv 3608 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V)) → ((𝑓 ∖ ℎ) ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 ((𝑓 ∖ ℎ) × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V))) |
368 | 241, 355,
367 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → ∀𝑐 ∈ 𝒫 ((𝑓 ∖ ℎ) × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) |
369 | | imaeq1 5926 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑐 = (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) → (𝑐 “ 𝑑) = ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) “ 𝑑)) |
370 | 369 | breq2d 5080 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑐 = (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) → (𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) ↔ 𝑑 ≼ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) “ 𝑑))) |
371 | 370 | ralbidv 3199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑐 = (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) → (∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)𝑑 ≼ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) “ 𝑑))) |
372 | | pweq 4557 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑐 = (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) → 𝒫 𝑐 = 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))))) |
373 | 372 | rexeqdv 3418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑐 = (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) → (∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V ↔ ∃𝑒 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))))𝑒:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) |
374 | 371, 373 | imbi12d 347 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑐 = (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) → ((∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V) ↔ (∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)𝑑 ≼ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))))𝑒:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V))) |
375 | 374 | rspcva 3623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∈ 𝒫 ((𝑓 ∖ ℎ) × 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝒫 ((𝑓 ∖ ℎ) × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) → (∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)𝑑 ≼ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))))𝑒:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) |
376 | 344, 368,
375 | sylancr 589 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → (∀𝑑 ∈ 𝒫 (𝑓 ∖ ℎ)𝑑 ≼ ((𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))))𝑒:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) |
377 | 336, 376 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))))𝑒:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V) |
378 | | f1eq1 6572 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑒 = 𝑗 → (𝑒:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V ↔ 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) |
379 | 378 | cbvrexvw 3452 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(∃𝑒 ∈
𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))))𝑒:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V ↔ ∃𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))))𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V) |
380 | 377, 379 | sylib 220 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → ∃𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))))𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V) |
381 | | elpwi 4550 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) → 𝑖 ⊆ (𝑔 ↾ ℎ)) |
382 | | resss 5880 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑔 ↾ ℎ) ⊆ 𝑔 |
383 | 381, 382 | sstrdi 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) → 𝑖 ⊆ 𝑔) |
384 | 383 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V) → 𝑖 ⊆ 𝑔) |
385 | 384 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V)) ∧ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∧ 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) → 𝑖 ⊆ 𝑔) |
386 | | elpwi 4550 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) → 𝑗 ⊆ (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))))) |
387 | | inss1 4207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ⊆ 𝑔 |
388 | 386, 387 | sstrdi 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) → 𝑗 ⊆ 𝑔) |
389 | 388 | ad2antrl 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V)) ∧ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∧ 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) → 𝑗 ⊆ 𝑔) |
390 | 385, 389 | unssd 4164 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V)) ∧ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∧ 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) → (𝑖 ∪ 𝑗) ⊆ 𝑔) |
391 | 45 | elpw2 5250 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑖 ∪ 𝑗) ∈ 𝒫 𝑔 ↔ (𝑖 ∪ 𝑗) ⊆ 𝑔) |
392 | 390, 391 | sylibr 236 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V)) ∧ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∧ 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) → (𝑖 ∪ 𝑗) ∈ 𝒫 𝑔) |
393 | | f1f1orn 6628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑖:ℎ–1-1→V → 𝑖:ℎ–1-1-onto→ran
𝑖) |
394 | 393 | adantl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V) → 𝑖:ℎ–1-1-onto→ran
𝑖) |
395 | 394 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V)) ∧ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∧ 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) → 𝑖:ℎ–1-1-onto→ran
𝑖) |
396 | | f1f1orn 6628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V → 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1-onto→ran
𝑗) |
397 | 396 | ad2antll 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V)) ∧ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∧ 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) → 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1-onto→ran
𝑗) |
398 | | disjdif 4423 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (ℎ ∩ (𝑓 ∖ ℎ)) = ∅ |
399 | 398 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V)) ∧ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∧ 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) → (ℎ ∩ (𝑓 ∖ ℎ)) = ∅) |
400 | | rnss 5811 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑖 ⊆ (𝑔 ↾ ℎ) → ran 𝑖 ⊆ ran (𝑔 ↾ ℎ)) |
401 | 381, 400 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) → ran 𝑖 ⊆ ran (𝑔 ↾ ℎ)) |
402 | | df-ima 5570 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑔 “ ℎ) = ran (𝑔 ↾ ℎ) |
403 | 401, 402 | sseqtrrdi 4020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) → ran 𝑖 ⊆ (𝑔 “ ℎ)) |
404 | 403 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V) → ran 𝑖 ⊆ (𝑔 “ ℎ)) |
405 | 404 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V)) ∧ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∧ 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) → ran 𝑖 ⊆ (𝑔 “ ℎ)) |
406 | | incom 4180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑔 “ ℎ) ∩ ran 𝑗) = (ran 𝑗 ∩ (𝑔 “ ℎ)) |
407 | 386, 337 | sstrdi 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) → 𝑗 ⊆ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) |
408 | | rnss 5811 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑗 ⊆ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))) → ran 𝑗 ⊆ ran ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) |
409 | 407, 408 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) → ran 𝑗 ⊆ ran ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) |
410 | | rnxpss 6031 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ran
((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))) ⊆ (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)) |
411 | 409, 410 | sstrdi 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) → ran 𝑗 ⊆ (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))) |
412 | 411 | ad2antrl 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V)) ∧ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∧ 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) → ran 𝑗 ⊆ (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))) |
413 | | incom 4180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)) ∩ (𝑔 “ ℎ)) = ((𝑔 “ ℎ) ∩ (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))) |
414 | | disjdif 4423 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑔 “ ℎ) ∩ (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))) = ∅ |
415 | 413, 414 | eqtri 2846 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)) ∩ (𝑔 “ ℎ)) = ∅ |
416 | | ssdisj 4411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((ran
𝑗 ⊆ (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)) ∧ ((𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)) ∩ (𝑔 “ ℎ)) = ∅) → (ran 𝑗 ∩ (𝑔 “ ℎ)) = ∅) |
417 | 412, 415,
416 | sylancl 588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V)) ∧ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∧ 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) → (ran 𝑗 ∩ (𝑔 “ ℎ)) = ∅) |
418 | 406, 417 | syl5eq 2870 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V)) ∧ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∧ 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) → ((𝑔 “ ℎ) ∩ ran 𝑗) = ∅) |
419 | | ssdisj 4411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((ran
𝑖 ⊆ (𝑔 “ ℎ) ∧ ((𝑔 “ ℎ) ∩ ran 𝑗) = ∅) → (ran 𝑖 ∩ ran 𝑗) = ∅) |
420 | 405, 418,
419 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V)) ∧ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∧ 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) → (ran 𝑖 ∩ ran 𝑗) = ∅) |
421 | | f1oun 6636 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑖:ℎ–1-1-onto→ran
𝑖 ∧ 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1-onto→ran
𝑗) ∧ ((ℎ ∩ (𝑓 ∖ ℎ)) = ∅ ∧ (ran 𝑖 ∩ ran 𝑗) = ∅)) → (𝑖 ∪ 𝑗):(ℎ ∪ (𝑓 ∖ ℎ))–1-1-onto→(ran
𝑖 ∪ ran 𝑗)) |
422 | 395, 397,
399, 420, 421 | syl22anc 836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V)) ∧ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∧ 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) → (𝑖 ∪ 𝑗):(ℎ ∪ (𝑓 ∖ ℎ))–1-1-onto→(ran
𝑖 ∪ ran 𝑗)) |
423 | | undif 4432 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (ℎ ⊆ 𝑓 ↔ (ℎ ∪ (𝑓 ∖ ℎ)) = 𝑓) |
424 | 423 | biimpi 218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (ℎ ⊆ 𝑓 → (ℎ ∪ (𝑓 ∖ ℎ)) = 𝑓) |
425 | 424 | adantl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) → (ℎ ∪ (𝑓 ∖ ℎ)) = 𝑓) |
426 | 425 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V)) ∧ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∧ 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) → (ℎ ∪ (𝑓 ∖ ℎ)) = 𝑓) |
427 | 426 | f1oeq2d 6613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V)) ∧ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∧ 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) → ((𝑖 ∪ 𝑗):(ℎ ∪ (𝑓 ∖ ℎ))–1-1-onto→(ran
𝑖 ∪ ran 𝑗) ↔ (𝑖 ∪ 𝑗):𝑓–1-1-onto→(ran
𝑖 ∪ ran 𝑗))) |
428 | 422, 427 | mpbid 234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V)) ∧ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∧ 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) → (𝑖 ∪ 𝑗):𝑓–1-1-onto→(ran
𝑖 ∪ ran 𝑗)) |
429 | | f1of1 6616 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑖 ∪ 𝑗):𝑓–1-1-onto→(ran
𝑖 ∪ ran 𝑗) → (𝑖 ∪ 𝑗):𝑓–1-1→(ran 𝑖 ∪ ran 𝑗)) |
430 | 428, 429 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V)) ∧ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∧ 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) → (𝑖 ∪ 𝑗):𝑓–1-1→(ran 𝑖 ∪ ran 𝑗)) |
431 | | ssv 3993 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (ran
𝑖 ∪ ran 𝑗) ⊆ V |
432 | | f1ss 6582 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑖 ∪ 𝑗):𝑓–1-1→(ran 𝑖 ∪ ran 𝑗) ∧ (ran 𝑖 ∪ ran 𝑗) ⊆ V) → (𝑖 ∪ 𝑗):𝑓–1-1→V) |
433 | 430, 431,
432 | sylancl 588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V)) ∧ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∧ 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) → (𝑖 ∪ 𝑗):𝑓–1-1→V) |
434 | | f1eq1 6572 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑒 = (𝑖 ∪ 𝑗) → (𝑒:𝑓–1-1→V ↔ (𝑖 ∪ 𝑗):𝑓–1-1→V)) |
435 | 434 | rspcev 3625 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑖 ∪ 𝑗) ∈ 𝒫 𝑔 ∧ (𝑖 ∪ 𝑗):𝑓–1-1→V) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V) |
436 | 392, 433,
435 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V)) ∧ (𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ)))) ∧ 𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V)) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V) |
437 | 436 | rexlimdvaa 3287 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ) ∧ 𝑖:ℎ–1-1→V)) → (∃𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))))𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V)) |
438 | 437 | rexlimdvaa 3287 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ℎ ⊆ 𝑓) → (∃𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ)𝑖:ℎ–1-1→V → (∃𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))))𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V))) |
439 | 254, 223,
438 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → (∃𝑖 ∈ 𝒫 (𝑔 ↾ ℎ)𝑖:ℎ–1-1→V → (∃𝑗 ∈ 𝒫 (𝑔 ∩ ((𝑓 ∖ ℎ) × (𝑏 ∖ (𝑔 “ ℎ))))𝑗:(𝑓 ∖ ℎ)–1-1→V → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V))) |
440 | 274, 380,
439 | mp2d 49 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V) |
441 | 440 | ex 415 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑓 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) → (((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V)) |
442 | 441 | exlimdv 1934 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑓 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) → (∃ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ)) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V)) |
443 | 442 | imp 409 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ∃ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) ∧ ¬ ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V) |
444 | 220, 443 | sylan2br 596 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝑓 ∈ Fin
∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧
∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) ∧ ¬ ∀ℎ((ℎ ⊊ 𝑓 ∧ ℎ ≠ ∅) → ℎ ≺ (𝑔 “ ℎ))) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V) |
445 | 219, 444 | pm2.61dan 811 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑓 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑))) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V) |
446 | 445 | exp32 423 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑓 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) → (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏) → (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V))) |
447 | 446 | ralrimiv 3183 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑓 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) → ∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V)) |
448 | | imaeq1 5926 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑔 = 𝑐 → (𝑔 “ 𝑑) = (𝑐 “ 𝑑)) |
449 | 448 | breq2d 5080 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑔 = 𝑐 → (𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑) ↔ 𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑))) |
450 | 449 | ralbidv 3199 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑔 = 𝑐 → (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑))) |
451 | | pweq 4557 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑔 = 𝑐 → 𝒫 𝑔 = 𝒫 𝑐) |
452 | 451 | rexeqdv 3418 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑔 = 𝑐 → (∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V ↔ ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑓–1-1→V)) |
453 | 450, 452 | imbi12d 347 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑔 = 𝑐 → ((∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V) ↔ (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑓–1-1→V))) |
454 | 453 | cbvralvw 3451 |
. . . . . 6
⊢
(∀𝑔 ∈
𝒫 (𝑓 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑔 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑔𝑒:𝑓–1-1→V) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑓–1-1→V)) |
455 | 447, 454 | sylib 220 |
. . . . 5
⊢ (((𝑓 ∈ Fin ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ ∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑓–1-1→V)) |
456 | 455 | exp31 422 |
. . . 4
⊢ (𝑓 ∈ Fin → (𝑏 ∈ Fin →
(∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V)) → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑓–1-1→V)))) |
457 | 456 | a2d 29 |
. . 3
⊢ (𝑓 ∈ Fin → ((𝑏 ∈ Fin → ∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) → (𝑏 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑓–1-1→V)))) |
458 | 22, 457 | syl5bi 244 |
. 2
⊢ (𝑓 ∈ Fin →
(∀𝑎(𝑎 ⊊ 𝑓 → (𝑏 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑎 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑎𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑎–1-1→V))) → (𝑏 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝑓 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝑓𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝑓–1-1→V)))) |
459 | 9, 18, 458 | findcard3 8763 |
1
⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑏 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐 “ 𝑑) → ∃𝑒 ∈ 𝒫 𝑐𝑒:𝐴–1-1→V))) |