MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat0dimbas0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat0dimbas0 19998
Description: The empty set is the one and only matrix of dimension 0, called "the empty matrix". (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Assertion
Ref Expression
mat0dimbas0 (𝑅𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})

Proof of Theorem mat0dimbas0
StepHypRef Expression
1 0xp 5016 . . . . 5 (∅ × ∅) = ∅
21a1i 11 . . . 4 (𝑅𝑉 → (∅ × ∅) = ∅)
32oveq2d 6441 . . 3 (𝑅𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (∅ × ∅)) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ∅))
4 fvex 5996 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
5 map0e 7655 . . . 4 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ∅) = 1𝑜)
64, 5mp1i 13 . . 3 (𝑅𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ∅) = 1𝑜)
73, 6eqtrd 2548 . 2 (𝑅𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (∅ × ∅)) = 1𝑜)
8 0fin 7947 . . 3 ∅ ∈ Fin
9 eqid 2514 . . . 4 (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
10 eqid 2514 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
119, 10matbas2 19953 . . 3 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (∅ × ∅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
128, 11mpan 701 . 2 (𝑅𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (∅ × ∅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
13 df1o2 7333 . . 3 1𝑜 = {∅}
1413a1i 11 . 2 (𝑅𝑉 → 1𝑜 = {∅})
157, 12, 143eqtr3d 2556 1 (𝑅𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1938  Vcvv 3077  c0 3777  {csn 4028   × cxp 4930  cfv 5689  (class class class)co 6425  1𝑜c1o 7314  𝑚 cmap 7618  Fincfn 7715  Basecbs 15583   Mat cmat 19939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-ot 4037  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6832  df-1st 6932  df-2nd 6933  df-supp 7056  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-1o 7321  df-oadd 7325  df-er 7503  df-map 7620  df-ixp 7669  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-fin 7719  df-fsupp 8033  df-sup 8105  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-nn 10774  df-2 10832  df-3 10833  df-4 10834  df-5 10835  df-6 10836  df-7 10837  df-8 10838  df-9 10839  df-10OLD 10840  df-n0 11046  df-z 11117  df-dec 11232  df-uz 11424  df-fz 12062  df-struct 15585  df-ndx 15586  df-slot 15587  df-base 15588  df-sets 15589  df-ress 15590  df-plusg 15669  df-mulr 15670  df-sca 15672  df-vsca 15673  df-ip 15674  df-tset 15675  df-ple 15676  df-ds 15679  df-hom 15681  df-cco 15682  df-0g 15813  df-prds 15819  df-pws 15821  df-sra 18901  df-rgmod 18902  df-dsmm 19802  df-frlm 19817  df-mat 19940
This theorem is referenced by:  mat0dim0  19999  mat0dimid  20000  mat0dimscm  20001  mat0dimcrng  20002  mat0scmat  20070  mavmul0  20084  mdet0pr  20124  cramer0  20222  d0mat2pmat  20269  chpmat0d  20365  matunitlindf  32443
  Copyright terms: Public domain W3C validator