Theorem mat0dimbas0 21077

Description: The empty set is the one and only matrix of dimension 0, called "the empty matrix". (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mat0dimbas0	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})

Proof of Theorem mat0dimbas0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xp 5651	. . . . 5 ⊢ (∅ × ∅) = ∅
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (∅ × ∅) = ∅)
3	2	oveq2d 7174	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m (∅ × ∅)) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
4		fvex 6685	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
5		map0e 8448	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
6	4, 5	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
7	3, 6	eqtrd 2858	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m (∅ × ∅)) = 1o)
8		0fin 8748	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
10		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11	9, 10	matbas2 21032	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (∅ × ∅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
12	8, 11	mpan 688	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m (∅ × ∅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
13		df1o2 8118	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1o = {∅})
15	7, 12, 14	3eqtr3d 2866	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496  ∅c0 4293  {csn 4569   × cxp 5555  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  1_oc1o 8097   ↑_m cmap 8408  Fincfn 8511  Basecbs 16485   Mat cmat 21018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-ot 4578  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-hom 16591  df-cco 16592  df-0g 16717  df-prds 16723  df-pws 16725  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-dsmm 20878  df-frlm 20893  df-mat 21019

This theorem is referenced by:  mat0dim0  21078  mat0dimid  21079  mat0dimscm  21080  mat0dimcrng  21081  mat0scmat  21149  mavmul0  21163  mdet0pr  21203  cramer0  21301  d0mat2pmat  21348  chpmat0d  21444  matunitlindf  34892