MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat0dimscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat0dimscm 20323
Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 0. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mat0dim.a 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
mat0dimscm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) = ∅)

Proof of Theorem mat0dimscm
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
2 0fin 8229 . . . 4 ∅ ∈ Fin
3 mat0dim.a . . . . 5 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
43matlmod 20283 . . . 4 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
52, 1, 4sylancr 696 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ LMod)
63matsca2 20274 . . . . . . 7 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
72, 6mpan 706 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
87fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
98eleq2d 2716 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
109biimpa 500 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
11 0ex 4823 . . . . . 6 ∅ ∈ V
1211snid 4241 . . . . 5 ∅ ∈ {∅}
133fveq2i 6232 . . . . . 6 (Base‘𝐴) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
14 mat0dimbas0 20320 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
1513, 14syl5eq 2697 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝐴) = {∅})
1612, 15syl5eleqr 2737 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘𝐴))
1716adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → ∅ ∈ (Base‘𝐴))
18 eqid 2651 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
19 eqid 2651 . . . 4 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
20 eqid 2651 . . . 4 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
21 eqid 2651 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
2218, 19, 20, 21lmodvscl 18928 . . 3 ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ ∅ ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴))
235, 10, 17, 22syl3anc 1366 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴))
2415eleq2d 2716 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴) ↔ (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ {∅}))
25 elsni 4227 . . 3 ((𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ {∅} → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) = ∅)
2624, 25syl6bi 243 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋( ·𝑠𝐴)∅) ∈ (Base‘𝐴) → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) = ∅))
271, 23, 26sylc 65 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋( ·𝑠𝐴)∅) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  c0 3948  {csn 4210  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  Ringcrg 18593  LModclmod 18911   Mat cmat 20261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-mat 20262
This theorem is referenced by:  mat0scmat  20392  chpmat0d  20687
  Copyright terms: Public domain W3C validator