Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat0op Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat0op 20273
 Description: Value of a zero matrix as operation. (Contributed by AV, 2-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mat0op.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat0op.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
mat0op ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁0 ))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑁   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   0 (𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mat0op
StepHypRef Expression
1 mat0op.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2651 . . 3 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
31, 2mat0 20271 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (0g𝐴))
4 fconstmpt2 6797 . . 3 ((𝑁 × 𝑁) × {(0g𝑅)}) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅))
5 simpr 476 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
6 sqxpexg 7005 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
76adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
8 eqid 2651 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
92, 8frlm0 20146 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ V) → ((𝑁 × 𝑁) × {(0g𝑅)}) = (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
105, 7, 9syl2anc 694 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑁 × 𝑁) × {(0g𝑅)}) = (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
11 mat0op.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
1211eqcomi 2660 . . . . . 6 (0g𝑅) = 0
1312a1i 11 . . . . 5 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (0g𝑅) = 0 )
1413mpt2eq3ia 6762 . . . 4 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁0 )
1514a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁0 ))
164, 10, 153eqtr3a 2709 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁0 ))
173, 16eqtr3d 2687 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  {csn 4210   × cxp 5141  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  Fincfn 7997  0gc0g 16147  Ringcrg 18593   freeLMod cfrlm 20138   Mat cmat 20261 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-mat 20262 This theorem is referenced by:  matinvgcell  20289  mat1dim0  20327  mdet0  20460  pmat0op  20548  decpmataa0  20621  decpmatid  20623  decpmatmulsumfsupp  20626  pmatcollpw2lem  20630  monmatcollpw  20632  mptcoe1matfsupp  20655  mp2pm2mplem4  20662  pm2mpmhmlem1  20671  chp0mat  20699
 Copyright terms: Public domain W3C validator