MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1 20010
Description: Value of an identity matrix, see also the statement in [Lang] p. 504: "The unit element of the ring of n x n matrices is the matrix In ... whose components are equal to 0 except on the diagonal, in which case they are equal to 1.". (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat1.o 1 = (1r𝑅)
mat1.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
mat1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗, 0   1 ,𝑖,𝑗   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Proof of Theorem mat1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2605 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 simpr 475 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
3 mat1.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
4 mat1.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
5 eqid 2605 . . . 4 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
6 simpl 471 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
71, 2, 3, 4, 5, 6mamumat1cl 20002 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
8 mat1.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
98, 1matbas2 19984 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
107, 9eleqtrd 2685 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝐴))
11 eqid 2605 . . . . . . . 8 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
128, 11matmulr 20001 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
1312adantr 479 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
1413oveqd 6540 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑥) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥))
15 simplr 787 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑅 ∈ Ring)
16 simpll 785 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑁 ∈ Fin)
179eleq2d 2668 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)))
1817biimpar 500 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
191, 15, 3, 4, 5, 16, 16, 11, 18mamulid 20004 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑥) = 𝑥)
2014, 19eqtr3d 2641 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥) = 𝑥)
2113oveqd 6540 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))))
221, 15, 3, 4, 5, 16, 16, 11, 18mamurid 20005 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥)
2321, 22eqtr3d 2641 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥)
2420, 23jca 552 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)) → (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥))
2524ralrimiva 2944 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)(((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥))
268matring 20006 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
27 eqid 2605 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
28 eqid 2605 . . . 4 (.r𝐴) = (.r𝐴)
29 eqid 2605 . . . 4 (1r𝐴) = (1r𝐴)
3027, 28, 29isringid 18338 . . 3 (𝐴 ∈ Ring → (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)(((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥)) ↔ (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))))
3126, 30syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)(((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))(.r𝐴)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))) = 𝑥)) ↔ (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))))
3210, 25, 31mpbi2and 957 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891  ifcif 4031  cotp 4128   × cxp 5022  cfv 5786  (class class class)co 6523  cmpt2 6525  𝑚 cmap 7717  Fincfn 7814  Basecbs 15637  .rcmulr 15711  0gc0g 15865  1rcur 18266  Ringcrg 18312   maMul cmmul 19946   Mat cmat 19970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-ot 4129  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-sup 8204  df-oi 8271  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-seq 12615  df-hash 12931  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-hom 15735  df-cco 15736  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-prds 15873  df-pws 15875  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-mhm 17100  df-submnd 17101  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-mulg 17306  df-subg 17356  df-ghm 17423  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-subrg 18543  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-sra 18935  df-rgmod 18936  df-dsmm 19833  df-frlm 19848  df-mamu 19947  df-mat 19971
This theorem is referenced by:  mat1ov  20011  matsc  20013  mattpos1  20019  mat1dimid  20037  1mavmul  20111  1marepvsma1  20146  pmat1op  20258  decpmatid  20332
  Copyright terms: Public domain W3C validator