Theorem mat1dim0 20479

Description: The zero of the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dim0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (0g‘𝐴) = {⟨𝑂, (0g‘𝑅)⟩})

Proof of Theorem mat1dim0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 8201	. . . . . 6 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → {𝐸} ∈ Fin)
3	2	anim2i 594	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑅 ∈ Ring ∧ {𝐸} ∈ Fin))
4	3	ancomd 466	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5		mat1dim.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
6		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	5, 6	mat0op 20425	. . 3 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g‘𝑅)))
8	4, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g‘𝑅)))
9		simpr 479	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
10		fvexd 6362	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (0g‘𝑅) ∈ V)
11		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g‘𝑅)) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g‘𝑅))
12		eqidd 2759	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
13		eqidd 2759	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
14	11, 12, 13	mpt2sn 7434	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g‘𝑅)) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (0g‘𝑅)⟩})
15		mat1dim.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
16	15	eqcomi 2767	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
17	16	opeq1i 4554	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (0g‘𝑅)⟩ = ⟨𝑂, (0g‘𝑅)⟩
18	17	sneqi 4330	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (0g‘𝑅)⟩} = {⟨𝑂, (0g‘𝑅)⟩}
19	14, 18	syl6eq 2808	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g‘𝑅)) = {⟨𝑂, (0g‘𝑅)⟩})
20	9, 9, 10, 19	syl3anc 1477	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (0g‘𝑅)) = {⟨𝑂, (0g‘𝑅)⟩})
21	8, 20	eqtrd 2792	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (0g‘𝐴) = {⟨𝑂, (0g‘𝑅)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1630   ∈ wcel 2137  Vcvv 3338  {csn 4319  ⟨cop 4325  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811   ↦ cmpt2 6813  Fincfn 8119  Basecbs 16057  0_gc0g 16300  Ringcrg 18745   Mat cmat 20413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-ot 4328  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-ixp 8073  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-sup 8511  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-fz 12518  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-ip 16159  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-hom 16166  df-cco 16167  df-0g 16302  df-prds 16308  df-pws 16310  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-sbg 17626  df-subg 17790  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-subrg 18978  df-lmod 19065  df-lss 19133  df-sra 19372  df-rgmod 19373  df-dsmm 20276  df-frlm 20291  df-mat 20414

This theorem is referenced by: (None)