MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dimscm 20200
Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
Assertion
Ref Expression
mat1dimscm (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩})

Proof of Theorem mat1dimscm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1dim.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
2 opex 4893 . . . . . . . . . . 11 𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
31, 2eqeltri 2694 . . . . . . . . . 10 𝑂 ∈ V
43a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐵𝑂 ∈ V)
54anim2i 592 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐵𝑂 ∈ V))
65ancomd 467 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑂 ∈ V ∧ 𝑋𝐵))
7 fnsng 5896 . . . . . . 7 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
98adantl 482 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
10 xpsng 6360 . . . . . . . 8 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
116, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
1211adantl 482 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
1312fneq1d 5939 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂} ↔ {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂}))
149, 13mpbird 247 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂})
15 xpsng 6360 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
161sneqi 4159 . . . . . . . . 9 {𝑂} = {⟨𝐸, 𝐸⟩}
1715, 16syl6eqr 2673 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
1817anidms 676 . . . . . . 7 (𝐸𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
1918ad2antlr 762 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
2019xpeq1d 5098 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = ({𝑂} × {𝑋}))
2120fneq1d 5939 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) Fn {𝑂} ↔ ({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂}))
2214, 21mpbird 247 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) Fn {𝑂})
233a1i 11 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑂 ∈ V)
24 fnsng 5896 . . . . 5 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑌𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
2523, 24sylan 488 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
2625adantl 482 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
27 snex 4869 . . . 4 {𝑂} ∈ V
2827a1i 11 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {𝑂} ∈ V)
29 inidm 3800 . . 3 ({𝑂} ∩ {𝑂}) = {𝑂}
30 elsni 4165 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑂} → 𝑥 = 𝑂)
31 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑂 → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂))
3215anidms 676 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
3332ad2antlr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
3433xpeq1d 5098 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}))
352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
3635anim2i 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐵 ∧ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V))
3736ancomd 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋𝐵))
38 xpsng 6360 . . . . . . . . . . . . 13 ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩})
391eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
4039opeq1i 4373 . . . . . . . . . . . . . 14 ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑋
4140sneqi 4159 . . . . . . . . . . . . 13 {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑋⟩}
4238, 41syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
4337, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
4443adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
4534, 44eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
4645fveq1d 6150 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂))
47 fvsng 6401 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
486, 47syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
4948adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
5046, 49eqtrd 2655 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂) = 𝑋)
5131, 50sylan9eq 2675 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑂 ∧ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵))) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
5251ex 450 . . . . 5 (𝑥 = 𝑂 → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋))
5330, 52syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑂} → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋))
5453impcom 446 . . 3 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑂}) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
55 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑂 → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂))
56 fvsng 6401 . . . . . . . . 9 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑌𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
5723, 56sylan 488 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
5857adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
5955, 58sylan9eq 2675 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑂 ∧ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵))) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌)
6059ex 450 . . . . 5 (𝑥 = 𝑂 → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌))
6130, 60syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑂} → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌))
6261impcom 446 . . 3 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑂}) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌)
6322, 26, 28, 28, 29, 54, 62offval 6857 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r𝑅)𝑌)))
64 simprl 793 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
65 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
6665anim2i 592 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑌𝐵))
67 df-3an 1038 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑌𝐵) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑌𝐵))
6866, 67sylibr 224 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑌𝐵))
69 mat1dim.a . . . . 5 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
70 mat1dim.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
7169, 70, 1mat1dimbas 20197 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑌𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴))
7268, 71syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴))
73 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
74 eqid 2621 . . . 4 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
75 eqid 2621 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
76 eqid 2621 . . . 4 ({𝐸} × {𝐸}) = ({𝐸} × {𝐸})
7769, 73, 70, 74, 75, 76matvsca2 20153 . . 3 ((𝑋𝐵 ∧ {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑋( ·𝑠𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
7864, 72, 77syl2anc 692 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
79 3anass 1040 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)))
8079biimpri 218 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵))
8180adantlr 750 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵))
8270, 75ringcl 18482 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(.r𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
8381, 82syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(.r𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
84 fmptsn 6387 . . 3 ((𝑂 ∈ V ∧ (𝑋(.r𝑅)𝑌) ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r𝑅)𝑌)))
853, 83, 84sylancr 694 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r𝑅)𝑌)))
8663, 78, 853eqtr4d 2665 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  {csn 4148  cop 4154  cmpt 4673   × cxp 5072   Fn wfn 5842  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848  Basecbs 15781  .rcmulr 15863   ·𝑠 cvsca 15866  Ringcrg 18468   Mat cmat 20132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-ot 4157  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mgp 18411  df-ring 18470  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-dsmm 19995  df-frlm 20010  df-mat 20133
This theorem is referenced by:  mat1scmat  20264
  Copyright terms: Public domain W3C validator