Theorem mat1dimscm 21086

Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimscm	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})

Proof of Theorem mat1dimscm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1dim.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
2		opex 5358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2911	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑂 ∈ V)
5	4	anim2i 618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑂 ∈ V))
6	5	ancomd 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
7		fnsng 6408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
9	8	adantl 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
10		xpsng 6903	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
11	6, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
12	11	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
13	12	fneq1d 6448	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂} ↔ {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂}))
14	9, 13	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂})
15		xpsng 6903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
16	1	sneqi 4580	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑂} = {⟨𝐸, 𝐸⟩}
17	15, 16	syl6eqr 2876	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
18	17	anidms 569	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
19	18	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
20	19	xpeq1d 5586	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = ({𝑂} × {𝑋}))
21	20	fneq1d 6448	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) Fn {𝑂} ↔ ({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂}))
22	14, 21	mpbird 259	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) Fn {𝑂})
23	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑂 ∈ V)
24		fnsng 6408	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
25	23, 24	sylan 582	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
26	25	adantl 484	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
27		snex 5334	. . . 4 ⊢ {𝑂} ∈ V
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {𝑂} ∈ V)
29		inidm 4197	. . 3 ⊢ ({𝑂} ∩ {𝑂}) = {𝑂}
30		elsni 4586	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑂} → 𝑥 = 𝑂)
31		fveq2 6672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑂 → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂))
32	15	anidms 569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
33	32	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
34	33	xpeq1d 5586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}))
35	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
36	35	anim2i 618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V))
37	36	ancomd 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
38		xpsng 6903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩})
39	1	eqcomi 2832	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
40	39	opeq1i 4808	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑋⟩
41	40	sneqi 4580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑋⟩}
42	38, 41	syl6eq 2874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
43	37, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
44	43	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
45	34, 44	eqtrd 2858	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
46	45	fveq1d 6674	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂))
47		fvsng 6944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
48	6, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
49	48	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
50	46, 49	eqtrd 2858	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂) = 𝑋)
51	31, 50	sylan9eq 2878	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑂 ∧ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
52	51	ex 415	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑂 → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋))
53	30, 52	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑂} → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋))
54	53	impcom 410	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑂}) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
55		fveq2 6672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑂 → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂))
56		fvsng 6944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
57	23, 56	sylan 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
58	57	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
59	55, 58	sylan9eq 2878	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑂 ∧ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌)
60	59	ex 415	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑂 → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌))
61	30, 60	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑂} → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌))
62	61	impcom 410	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑂}) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌)
63	22, 26, 28, 28, 29, 54, 62	offval 7418	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)))
64		simprl 769	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
65		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
66	65	anim2i 618	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
67		df-3an 1085	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
68	66, 67	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
69		mat1dim.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
70		mat1dim.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
71	69, 70, 1	mat1dimbas 21083	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴))
72	68, 71	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴))
73		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
74		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
75		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
76		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ({𝐸} × {𝐸}) = ({𝐸} × {𝐸})
77	69, 73, 70, 74, 75, 76	matvsca2 21039	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
78	64, 72, 77	syl2anc 586	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
79		3anass 1091	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
80	79	biimpri 230	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
81	80	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
82	70, 75	ringcl 19313	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
83	81, 82	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
84		fmptsn 6931	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ (𝑋(.r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)))
85	3, 83, 84	sylancr 589	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)))
86	63, 78, 85	3eqtr4d 2868	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496  {csn 4569  ⟨cop 4575   ↦ cmpt 5148   × cxp 5555   Fn wfn 6352  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∘_f cof 7409  Basecbs 16485  ._rcmulr 16568   ·_𝑠 cvsca 16571  Ringcrg 19299   Mat cmat 21018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-ot 4578  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-hom 16591  df-cco 16592  df-0g 16717  df-prds 16723  df-pws 16725  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mgp 19242  df-ring 19301  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-dsmm 20878  df-frlm 20893  df-mat 21019

This theorem is referenced by:  mat1scmat  21150