MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1ric Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1ric 20059
Description: A ring is isomorphic to the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 30-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mat1ric.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
mat1ric ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅𝑟 𝐴)

Proof of Theorem mat1ric
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 mat1ric.a . . . 4 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
3 eqid 2609 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
4 eqid 2609 . . . 4 𝐸, 𝐸⟩ = ⟨𝐸, 𝐸
5 opeq2 4335 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑥⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑦⟩)
65sneqd 4136 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑥⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑦⟩})
76cbvmptv 4672 . . . 4 (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑥⟩}) = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑦⟩})
81, 2, 3, 4, 7mat1rngiso 20058 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑥⟩}) ∈ (𝑅 RingIso 𝐴))
9 ne0i 3879 . . 3 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑥⟩}) ∈ (𝑅 RingIso 𝐴) → (𝑅 RingIso 𝐴) ≠ ∅)
108, 9syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝑅 RingIso 𝐴) ≠ ∅)
11 brric 18515 . 2 (𝑅𝑟 𝐴 ↔ (𝑅 RingIso 𝐴) ≠ ∅)
1210, 11sylibr 222 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅𝑟 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  c0 3873  {csn 4124  cop 4130   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5789  (class class class)co 6526  Basecbs 15643  Ringcrg 18318   RingIso crs 18484  𝑟 cric 18485   Mat cmat 19979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-ot 4133  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-seq 12621  df-hash 12937  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-ip 15734  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-hom 15741  df-cco 15742  df-0g 15873  df-gsum 15874  df-prds 15879  df-pws 15881  df-mre 16017  df-mrc 16018  df-acs 16020  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-mhm 17106  df-submnd 17107  df-grp 17196  df-minusg 17197  df-sbg 17198  df-mulg 17312  df-subg 17362  df-ghm 17429  df-cntz 17521  df-cmn 17966  df-abl 17967  df-mgp 18261  df-ur 18273  df-ring 18320  df-rnghom 18486  df-rngiso 18487  df-ric 18489  df-subrg 18549  df-lmod 18636  df-lss 18702  df-sra 18941  df-rgmod 18942  df-dsmm 19842  df-frlm 19857  df-mamu 19956  df-mat 19980
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator