Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1scmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1scmat 20264
 Description: A 1-dimensional matrix over a ring is always a scalar matrix (and therefore, by scmatdmat 20240, also a diagonal matrix). (Contributed by AV, 21-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1scmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat1scmat.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
mat1scmat ((𝑁𝑉 ∧ (#‘𝑁) = 1 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀𝐵𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))

Proof of Theorem mat1scmat
Dummy variables 𝑒 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hash1snb 13147 . . 3 (𝑁𝑉 → ((#‘𝑁) = 1 ↔ ∃𝑒 𝑁 = {𝑒}))
2 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
3 vex 3189 . . . . . . . . . 10 𝑒 ∈ V
4 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 ({𝑒} Mat 𝑅) = ({𝑒} Mat 𝑅)
5 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 𝑒, 𝑒⟩ = ⟨𝑒, 𝑒
74, 5, 6mat1dimelbas 20196 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}))
83, 7mpan2 706 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}))
9 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩})
103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑒 ∈ V)
114, 5, 6mat1dimid 20199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) → (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r𝑅)⟩})
1210, 11sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r𝑅)⟩})
1312oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))) = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r𝑅)⟩}))
14 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
1514, 3jctir 560 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V))
16 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
17 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1r𝑅) = (1r𝑅)
185, 17ringidcl 18489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
204, 5, 6mat1dimscm 20200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r𝑅)⟩}) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r𝑅)(1r𝑅))⟩})
2115, 16, 19, 20syl12anc 1321 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r𝑅)⟩}) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r𝑅)(1r𝑅))⟩})
22 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r𝑅) = (.r𝑅)
235, 22, 17ringridm 18493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝑐)
2423opeq2d 4377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r𝑅)(1r𝑅))⟩ = ⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩)
2524sneqd 4160 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r𝑅)(1r𝑅))⟩} = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩})
2613, 21, 253eqtrrd 2660 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
289, 27eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → 𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
2928ex 450 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} → 𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
3029reximdva 3011 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
318, 30sylbid 230 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
3231imp 445 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
33 snfi 7982 . . . . . . . 8 {𝑒} ∈ Fin
34 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
35 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))
36 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = (1r‘({𝑒} Mat 𝑅))
37 eqid 2621 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))
38 eqid 2621 . . . . . . . . 9 ({𝑒} ScMat 𝑅) = ({𝑒} ScMat 𝑅)
395, 4, 35, 36, 37, 38scmatel 20230 . . . . . . . 8 (({𝑒} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))))
4033, 34, 39sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))))
412, 32, 40mpbir2and 956 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅))
4241ex 450 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅)))
43 mat1scmat.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
44 mat1scmat.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4544fveq2i 6151 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4643, 45eqtri 2643 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
47 oveq1 6611 . . . . . . . . 9 (𝑁 = {𝑒} → (𝑁 Mat 𝑅) = ({𝑒} Mat 𝑅))
4847fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝑁 = {𝑒} → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
4946, 48syl5eq 2667 . . . . . . 7 (𝑁 = {𝑒} → 𝐵 = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
5049eleq2d 2684 . . . . . 6 (𝑁 = {𝑒} → (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))))
51 oveq1 6611 . . . . . . 7 (𝑁 = {𝑒} → (𝑁 ScMat 𝑅) = ({𝑒} ScMat 𝑅))
5251eleq2d 2684 . . . . . 6 (𝑁 = {𝑒} → (𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅) ↔ 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅)))
5350, 52imbi12d 334 . . . . 5 (𝑁 = {𝑒} → ((𝑀𝐵𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅))))
5442, 53syl5ibr 236 . . . 4 (𝑁 = {𝑒} → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀𝐵𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅))))
5554exlimiv 1855 . . 3 (∃𝑒 𝑁 = {𝑒} → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀𝐵𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅))))
561, 55syl6bi 243 . 2 (𝑁𝑉 → ((#‘𝑁) = 1 → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀𝐵𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))))
57563imp 1254 1 ((𝑁𝑉 ∧ (#‘𝑁) = 1 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀𝐵𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987  ∃wrex 2908  Vcvv 3186  {csn 4148  ⟨cop 4154  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  1c1 9881  #chash 13057  Basecbs 15781  .rcmulr 15863   ·𝑠 cvsca 15866  1rcur 18422  Ringcrg 18468   Mat cmat 20132   ScMat cscmat 20214 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-ot 4157  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-dsmm 19995  df-frlm 20010  df-mamu 20109  df-mat 20133  df-scmat 20216 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator