MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat2pmatghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat2pmatghm 20454
Description: The transformation of matrices into polynomial matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 28-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mat2pmatbas.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatghm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))

Proof of Theorem mat2pmatghm
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐴)
2 mat2pmatbas0.h . 2 𝐻 = (Base‘𝐶)
3 eqid 2621 . 2 (+g𝐴) = (+g𝐴)
4 eqid 2621 . 2 (+g𝐶) = (+g𝐶)
5 mat2pmatbas.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
65matgrp 20155 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
7 mat2pmatbas.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
8 mat2pmatbas.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
97, 8pmatring 20417 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
10 ringgrp 18473 . . 3 (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
119, 10syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Grp)
12 mat2pmatbas.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
1312, 5, 1, 7, 8, 2mat2pmatf 20452 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵𝐻)
14 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
15 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
1615adantr 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
177ply1ring 19537 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
1817ad2antlr 762 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
19 simp1lr 1123 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
20 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21 simp2 1060 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
22 simp3 1061 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
23 simp1rl 1124 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑥𝐵)
245, 20, 1, 21, 22, 23matecld 20151 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
25 eqid 2621 . . . . . . . 8 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
267, 25, 20, 14ply1sclcl 19575 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
2719, 24, 26syl2anc 692 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
288, 14, 2, 16, 18, 27matbas2d 20148 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∈ 𝐻)
29 simp1rr 1125 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑦𝐵)
305, 20, 1, 21, 22, 29matecld 20151 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
317, 25, 20, 14ply1sclcl 19575 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
3219, 30, 31syl2anc 692 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
338, 14, 2, 16, 18, 32matbas2d 20148 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) ∈ 𝐻)
34 eqid 2621 . . . . . 6 (+g𝑃) = (+g𝑃)
358, 2, 4, 34matplusg2 20152 . . . . 5 (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∈ 𝐻 ∧ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) ∈ 𝐻) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘𝑓 (+g𝑃)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
3628, 33, 35syl2anc 692 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘𝑓 (+g𝑃)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
37 fvex 6158 . . . . . . 7 ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ V
3837a1i 11 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ V)
39 fvex 6158 . . . . . . 7 ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ V
4039a1i 11 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ V)
41 eqidd 2622 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
42 eqidd 2622 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
4316, 16, 38, 40, 41, 42offval22 7198 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘𝑓 (+g𝑃)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
44 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
45443ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
46 3simpc 1058 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
47 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (+g𝑅) = (+g𝑅)
485, 1, 3, 47matplusgcell 20158 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g𝑅)(𝑖𝑦𝑗)))
4945, 46, 48syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g𝑅)(𝑖𝑦𝑗)))
507ply1sca 19542 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5251fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑃)))
5352oveqd 6621 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑖𝑥𝑗)(+g𝑅)(𝑖𝑦𝑗)) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
5453adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑥𝑗)(+g𝑅)(𝑖𝑦𝑗)) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
55543ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑖𝑥𝑗)(+g𝑅)(𝑖𝑦𝑗)) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
5649, 55eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗) = ((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗)))
5756fveq2d 6152 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗)) = ((algSc‘𝑃)‘((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗))))
58 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
59183ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
607ply1lmod 19541 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
6160ad2antlr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ LMod)
62613ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃 ∈ LMod)
6325, 58, 59, 62asclghm 19257 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
6451eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
6564fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
6665eleq2d 2684 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
6766adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
68673ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
6924, 68mpbird 247 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
7065eleq2d 2684 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
7170adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
72713ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ↔ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)))
7330, 72mpbird 247 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
74 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
75 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (+g‘(Scalar‘𝑃)) = (+g‘(Scalar‘𝑃))
7674, 75, 34ghmlin 17586 . . . . . . . 8 (((algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃) ∧ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
7763, 69, 73, 76syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑖𝑥𝑗)(+g‘(Scalar‘𝑃))(𝑖𝑦𝑗))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
7857, 77eqtr2d 2656 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗)))
7978mpt2eq3dva 6672 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))(+g𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗))))
8043, 79eqtrd 2655 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) ∘𝑓 (+g𝑃)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗))))
8136, 80eqtr2d 2656 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
82 simpl 473 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
835matring 20168 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
84 ringmnd 18477 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Mnd)
8583, 84syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Mnd)
8685anim1i 591 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐴 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
87 3anass 1040 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
8886, 87sylibr 224 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐴 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵))
891, 3mndcl 17222 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
9088, 89syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
91 df-3an 1038 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵))
9282, 90, 91sylanbrc 697 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵))
9312, 5, 1, 7, 25mat2pmatval 20448 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑥(+g𝐴)𝑦)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗))))
9492, 93syl 17 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(+g𝐴)𝑦)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖(𝑥(+g𝐴)𝑦)𝑗))))
95 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
9695anim2i 592 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝐵))
97 df-3an 1038 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥𝐵))
9896, 97sylibr 224 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵))
9912, 5, 1, 7, 25mat2pmatval 20448 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
10098, 99syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑥) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
101 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
102101anim2i 592 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦𝐵))
103 df-3an 1038 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦𝐵))
104102, 103sylibr 224 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵))
10512, 5, 1, 7, 25mat2pmatval 20448 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → (𝑇𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
106104, 105syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
107100, 106oveq12d 6622 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑇𝑥)(+g𝐶)(𝑇𝑦)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(+g𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
10881, 94, 1073eqtr4d 2665 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(+g𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(+g𝐶)(𝑇𝑦)))
1091, 2, 3, 4, 6, 11, 13, 108isghmd 17590 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  𝑓 cof 6848  Fincfn 7899  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  Scalarcsca 15865  Mndcmnd 17215  Grpcgrp 17343   GrpHom cghm 17578  Ringcrg 18468  LModclmod 18784  algSccascl 19230  Poly1cpl1 19466   Mat cmat 20132   matToPolyMat cmat2pmat 20428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-ot 4157  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-ascl 19233  df-psr 19275  df-mpl 19277  df-opsr 19279  df-psr1 19469  df-ply1 19471  df-dsmm 19995  df-frlm 20010  df-mamu 20109  df-mat 20133  df-mat2pmat 20431
This theorem is referenced by:  mat2pmatrhm  20458  0mat2pmat  20460  m2cpmghm  20468  pm2mp  20549  cayhamlem4  20612
  Copyright terms: Public domain W3C validator