MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matgsum 20009
Description: Finite commutative sums in a matrix algebra are taken componentwise. (Contributed by AV, 26-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matgsum.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matgsum.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matgsum.z 0 = (0g𝐴)
matgsum.i (𝜑𝑁 ∈ Fin)
matgsum.j (𝜑𝐽𝑊)
matgsum.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
matgsum.f ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈) ∈ 𝐵)
matgsum.w (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
matgsum (𝜑 → (𝐴 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐽,𝑗,𝑦   𝑖,𝑁,𝑗,𝑦   𝑅,𝑖,𝑗,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑗)   𝐴(𝑦,𝑖,𝑗)   𝐵(𝑦,𝑖,𝑗)   𝑈(𝑦,𝑖,𝑗)   𝑊(𝑦,𝑖,𝑗)   0 (𝑦,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem matgsum
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 matgsum.j . . . 4 (𝜑𝐽𝑊)
2 mptexg 6366 . . . 4 (𝐽𝑊 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)) ∈ V)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)) ∈ V)
4 matgsum.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 ovex 6554 . . . . 5 (𝑁 Mat 𝑅) ∈ V
64, 5eqeltri 2683 . . . 4 𝐴 ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
8 ovex 6554 . . . 4 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V)
10 matgsum.i . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
11 matgsum.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
12 eqid 2609 . . . . . 6 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
134, 12matbas 19985 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
1410, 11, 13syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
1514eqcomd 2615 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
164, 12matplusg 19986 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (+g𝐴))
1710, 11, 16syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (+g𝐴))
1817eqcomd 2615 . . 3 (𝜑 → (+g𝐴) = (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
193, 7, 9, 15, 18gsumpropd 17043 . 2 (𝜑 → (𝐴 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))) = ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))))
20 mpt2mpts 7100 . . . . . 6 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)
2120a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))
2221mpteq2dv 4667 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)) = (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)))
2322oveq2d 6542 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))) = ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))))
24 eqid 2609 . . . 4 (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
25 eqid 2609 . . . 4 (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
26 xpfi 8093 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
2710, 10, 26syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
28 matgsum.f . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈) ∈ 𝐵)
29 matgsum.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
3028, 29syl6eleq 2697 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈) ∈ (Base‘𝐴))
3120eqcomi 2618 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)
3231a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))
3310, 11jca 552 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3433adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3534, 13syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐽) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
3630, 32, 353eltr4d 2702 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
37 matgsum.w . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)) finSupp 0 )
3831mpteq2i 4663 . . . . . 6 (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)) = (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))
39 matgsum.z . . . . . . 7 0 = (0g𝐴)
4039eqcomi 2618 . . . . . 6 (0g𝐴) = 0
4137, 38, 403brtr4g 4611 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)) finSupp (0g𝐴))
424, 12mat0 19989 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (0g𝐴))
4310, 11, 42syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (0g𝐴))
4441, 43breqtrrd 4605 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)) finSupp (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
4512, 24, 25, 27, 1, 11, 36, 44frlmgsum 19877 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))))
4623, 45eqtrd 2643 . 2 (𝜑 → ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))))
47 fvex 6097 . . . . . . . 8 (2nd𝑧) ∈ V
48 csbov2g 6566 . . . . . . . 8 ((2nd𝑧) ∈ V → (2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = (𝑅 Σg (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈)))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . 7 (2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = (𝑅 Σg (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈))
5049csbeq2i 3944 . . . . . 6 (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = (1st𝑧) / 𝑖(𝑅 Σg (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈))
51 fvex 6097 . . . . . . 7 (1st𝑧) ∈ V
52 csbov2g 6566 . . . . . . 7 ((1st𝑧) ∈ V → (1st𝑧) / 𝑖(𝑅 Σg (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈)) = (𝑅 Σg (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈)))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . 6 (1st𝑧) / 𝑖(𝑅 Σg (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈)) = (𝑅 Σg (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈))
54 csbmpt2 4924 . . . . . . . . . 10 ((2nd𝑧) ∈ V → (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈) = (𝑦𝐽(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))
5547, 54ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈) = (𝑦𝐽(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)
5655csbeq2i 3944 . . . . . . . 8 (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈) = (1st𝑧) / 𝑖(𝑦𝐽(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)
57 csbmpt2 4924 . . . . . . . . 9 ((1st𝑧) ∈ V → (1st𝑧) / 𝑖(𝑦𝐽(2nd𝑧) / 𝑗𝑈) = (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))
5851, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1st𝑧) / 𝑖(𝑦𝐽(2nd𝑧) / 𝑗𝑈) = (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)
5956, 58eqtri 2631 . . . . . . 7 (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈) = (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)
6059oveq2i 6537 . . . . . 6 (𝑅 Σg (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈)) = (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))
6150, 53, 603eqtrri 2636 . . . . 5 (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)) = (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))
6261mpteq2i 4663 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)))
63 mpt2mpts 7100 . . . 4 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)))
6462, 63eqtr4i 2634 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)))
6564a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
6619, 46, 653eqtrd 2647 1 (𝜑 → (𝐴 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  csb 3498   class class class wbr 4577  cmpt 4637   × cxp 5025  cfv 5789  (class class class)co 6526  cmpt2 6528  1st c1st 7034  2nd c2nd 7035  Fincfn 7818   finSupp cfsupp 8135  Basecbs 15643  +gcplusg 15716  0gc0g 15871   Σg cgsu 15872  Ringcrg 18318   freeLMod cfrlm 19856   Mat cmat 19979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-ot 4133  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-seq 12621  df-hash 12937  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-ip 15734  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-hom 15741  df-cco 15742  df-0g 15873  df-gsum 15874  df-prds 15879  df-pws 15881  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-mhm 17106  df-grp 17196  df-minusg 17197  df-sbg 17198  df-subg 17362  df-cntz 17521  df-cmn 17966  df-abl 17967  df-mgp 18261  df-ur 18273  df-ring 18320  df-subrg 18549  df-lmod 18636  df-lss 18702  df-sra 18941  df-rgmod 18942  df-dsmm 19842  df-frlm 19857  df-mat 19980
This theorem is referenced by:  decpmatmul  20343  pmatcollpw2  20349
  Copyright terms: Public domain W3C validator