Theorem matinv 21285

Description: The inverse of a matrix is the adjunct of the matrix multiplied with the inverse of the determinant of the matrix if the determinant is a unit in the underlying ring. Proposition 4.16 in [Lang] p. 518. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
matinv.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matinv.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
matinv.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
matinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matinv.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
matinv.v	⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑅)
matinv.h	⊢ 𝐻 = (invr‘𝑅)
matinv.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐴)
matinv.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matinv	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ (𝐼‘𝑀) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))))

Proof of Theorem matinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matinv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
2		eqid 2821	. 2 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
3		eqid 2821	. 2 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
4		matinv.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
5		matinv.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐴)
6		matinv.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7	6, 1	matrcl 21020	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
8	7	simpld 497	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	3ad2ant2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
10		simp1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ CRing)
11	6	matassa 21052	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ AssAlg)
12	9, 10, 11	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ AssAlg)
13		assaring 20092	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ Ring)
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
15		simp2 1133	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ 𝐵)
16		assalmod 20091	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ LMod)
17	12, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ LMod)
18		crngring 19307	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
19	18	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
20		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉)
21		matinv.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑅)
22		matinv.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (invr‘𝑅)
23		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	21, 22, 23	ringinvcl 19425	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
25	19, 20, 24	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
26	6	matsca2 21028	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
27	9, 10, 26	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
28	27	fveq2d 6673	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
29	25, 28	eleqtrd 2915	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
30		matinv.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
31	6, 30, 1	maduf 21249	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵⟶𝐵)
32	31	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝐽:𝐵⟶𝐵)
33	32, 15	ffvelrnd 6851	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)
34		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
35		matinv.t	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
36		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
37	1, 34, 35, 36	lmodvscl 19650	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ (𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀)) ∈ 𝐵)
38	17, 29, 33, 37	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀)) ∈ 𝐵)
39	1, 34, 36, 35, 2	assaassr 20090	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)) → (𝑀(.r‘𝐴)((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀))))
40	12, 29, 15, 33, 39	syl13anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r‘𝐴)((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀))))
41		matinv.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
42	6, 1, 30, 41, 3, 2, 35	madurid 21252	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀)) = ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)))
43	15, 10, 42	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀)) = ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)))
44	43	oveq2d 7171	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝑀(.r‘𝐴)(𝐽‘𝑀))) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))))
45		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
46		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
47	21, 22, 45, 46	unitlinv 19426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)) = (1r‘𝑅))
48	19, 20, 47	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)) = (1r‘𝑅))
49	27	fveq2d 6673	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (.r‘𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝐴)))
50	49	oveqd 7172	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)))
51	27	fveq2d 6673	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
52	48, 50, 51	3eqtr3d 2864	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
53	52	oveq1d 7170	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)) ∙ (1r‘𝐴)) = ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∙ (1r‘𝐴)))
54	23, 21	unitcl 19408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉 → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
55	54	3ad2ant3 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
56	55, 28	eleqtrd 2915	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
57	1, 3	ringidcl 19317	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
58	14, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
59		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝐴)) = (.r‘(Scalar‘𝐴))
60	1, 34, 35, 36, 59	lmodvsass 19658	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)) ∙ (1r‘𝐴)) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))))
61	17, 29, 56, 58, 60	syl13anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀))(.r‘(Scalar‘𝐴))(𝐷‘𝑀)) ∙ (1r‘𝐴)) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))))
62		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
63	1, 34, 35, 62	lmodvs1 19661	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∙ (1r‘𝐴)) = (1r‘𝐴))
64	17, 58, 63	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∙ (1r‘𝐴)) = (1r‘𝐴))
65	53, 61, 64	3eqtr3d 2864	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))) = (1r‘𝐴))
66	40, 44, 65	3eqtrd 2860	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀(.r‘𝐴)((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))) = (1r‘𝐴))
67	1, 34, 36, 35, 2	assaass 20089	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵)) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))(.r‘𝐴)𝑀) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)))
68	12, 29, 33, 15, 67	syl13anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))(.r‘𝐴)𝑀) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)))
69	6, 1, 30, 41, 3, 2, 35	madulid 21253	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀) = ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)))
70	15, 10, 69	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀) = ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)))
71	70	oveq2d 7171	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐽‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))))
72	68, 71, 65	3eqtrd 2860	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))(.r‘𝐴)𝑀) = (1r‘𝐴))
73	1, 2, 3, 4, 5, 14, 15, 38, 66, 72	invrvald 21284	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ (𝐼‘𝑀) = ((𝐻‘(𝐷‘𝑀)) ∙ (𝐽‘𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Fincfn 8508  Basecbs 16482  ._rcmulr 16565  Scalarcsca 16567   ·_𝑠 cvsca 16568  1_rcur 19250  Ringcrg 19296  CRingccrg 19297  Unitcui 19388  inv_rcinvr 19420  LModclmod 19633  AssAlgcasa 20081   Mat cmat 21015   maDet cmdat 21192   maAdju cmadu 21240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-addf 10615  ax-mulf 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-xor 1501  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-tpos 7891  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-word 13861  df-lsw 13914  df-concat 13922  df-s1 13949  df-substr 14002  df-pfx 14032  df-splice 14111  df-reverse 14120  df-s2 14209  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-prds 16720  df-pws 16722  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955  df-submnd 17956  df-efmnd 18033  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-mulg 18224  df-subg 18275  df-ghm 18355  df-gim 18398  df-cntz 18446  df-oppg 18473  df-symg 18495  df-pmtr 18569  df-psgn 18618  df-evpm 18619  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-cring 19299  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-rnghom 19466  df-drng 19503  df-subrg 19532  df-lmod 19635  df-lss 19703  df-sra 19943  df-rgmod 19944  df-assa 20084  df-cnfld 20545  df-zring 20617  df-zrh 20650  df-dsmm 20875  df-frlm 20890  df-mamu 20994  df-mat 21016  df-mdet 21193  df-madu 21242

This theorem is referenced by:  matunit  21286