Theorem matlmod 20001

Description: The matrix ring is a linear structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
matlmod.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matlmod	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)

Proof of Theorem matlmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqxpexg 6838	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
2		eqid 2609	. . . . 5 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
3	2	frlmlmod 19859	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ V) → (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ LMod)
4	3	ancoms 467	. . 3 ⊢ (((𝑁 × 𝑁) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ LMod)
5	1, 4	sylan 486	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ LMod)
6		eqidd 2610	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
7		matlmod.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8	7, 2	matbas 19985	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
9	7, 2	matplusg 19986	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (+g‘𝐴))
10	9	oveqdr 6550	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))) → (𝑥(+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
11		eqidd 2610	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
12	7, 2	matsca 19987	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Scalar‘𝐴))
13		eqid 2609	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
14	7, 2	matvsca 19988	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
15	14	oveqdr 6550	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑦))
16	6, 8, 10, 11, 12, 13, 15	lmodpropd 18697	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ LMod ↔ 𝐴 ∈ LMod))
17	5, 16	mpbid 220	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  Vcvv 3172   × cxp 5025  ‘cfv 5789  (class class class)co 6526  Fincfn 7818  Basecbs 15643  +_gcplusg 15716  Scalarcsca 15719   ·_𝑠 cvsca 15720  Ringcrg 18318  LModclmod 18634   freeLMod cfrlm 19856   Mat cmat 19979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-ot 4133  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-fz 12155  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-ip 15734  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-hom 15741  df-cco 15742  df-0g 15873  df-prds 15879  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-grp 17196  df-minusg 17197  df-sbg 17198  df-subg 17362  df-mgp 18261  df-ur 18273  df-ring 18320  df-subrg 18549  df-lmod 18636  df-lss 18702  df-sra 18941  df-rgmod 18942  df-dsmm 19842  df-frlm 19857  df-mat 19980

This theorem is referenced by:  matgrp  20002  matvscl  20003  matassa  20016  mat0dimscm  20041  scmatid  20086  scmataddcl  20088  scmatsubcl  20089  smatvscl  20096  scmatghm  20105  scmatmhm  20106  pmatlmod  20265  pm2mp  20396  chpmat1dlem  20406  chpmat1d  20407  cpmidpmatlem3  20443  cpmadugsumlemB  20445  cpmadugsumlemC  20446  chcoeffeqlem  20456