MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matmulcell Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matmulcell 20017
Description: Multiplication in the matrix ring for a single cell of a matrix. (Contributed by AV, 17-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matmulcell.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matmulcell.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matmulcell.t · = (.r𝑅)
matmulcell.m × = (.r𝐴)
Assertion
Ref Expression
matmulcell ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 × 𝑌)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝐽)))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐽   𝑗,𝑁   𝑅,𝑗   𝑗,𝑋   𝑗,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   · (𝑗)   × (𝑗)

Proof of Theorem matmulcell
StepHypRef Expression
1 matmulcell.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 matmulcell.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2matrcl 19984 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
51, 4matmulr 20010 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
6 matmulcell.m . . . . . . . . . 10 × = (.r𝐴)
75, 6syl6reqr 2662 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
87a1d 25 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑅 ∈ Ring → × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)))
93, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → (𝑅 ∈ Ring → × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)))
109adantr 479 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑅 ∈ Ring → × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)))
1110impcom 444 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
12113adant3 1073 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
1312oveqd 6543 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑋 × 𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
1413oveqd 6543 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 × 𝑌)𝐽) = (𝐼(𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌)𝐽))
15 eqid 2609 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16 eqid 2609 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
17 simp1 1053 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
183simpld 473 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
1918adantr 479 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
20193ad2ant2 1075 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
211, 15, 2matbas2i 19994 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
2221adantr 479 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
23223ad2ant2 1075 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
241, 15, 2matbas2i 19994 . . . . 5 (𝑌𝐵𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
2524adantl 480 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
26253ad2ant2 1075 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
27 simp3l 1081 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐼𝑁)
28 simp3r 1082 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐽𝑁)
294, 15, 16, 17, 20, 20, 20, 23, 26, 27, 28mamufv 19959 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝐽)))))
3014, 29eqtrd 2643 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 × 𝑌)𝐽) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑌𝐽)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  cotp 4132  cmpt 4637   × cxp 5025  cfv 5789  (class class class)co 6526  𝑚 cmap 7721  Fincfn 7818  Basecbs 15643  .rcmulr 15717   Σg cgsu 15872  Ringcrg 18318   maMul cmmul 19955   Mat cmat 19979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-ot 4133  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-fz 12155  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-ip 15734  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-hom 15741  df-cco 15742  df-0g 15873  df-prds 15879  df-pws 15881  df-sra 18941  df-rgmod 18942  df-dsmm 19842  df-frlm 19857  df-mamu 19956  df-mat 19980
This theorem is referenced by:  mat1mhm  20056  scmatscm  20085  cpmatmcl  20290
  Copyright terms: Public domain W3C validator