MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matmulr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matmulr 19966
Description: Multiplication in the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matmulr.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matmulr.t · = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
matmulr ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → · = (.r𝐴))

Proof of Theorem matmulr
StepHypRef Expression
1 ovex 6454 . . . 4 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V
2 matmulr.t . . . . 5 · = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
3 ovex 6454 . . . . 5 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) ∈ V
42, 3eqeltri 2588 . . . 4 · ∈ V
51, 4pm3.2i 469 . . 3 ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V ∧ · ∈ V)
6 mulrid 15706 . . . 4 .r = Slot (.r‘ndx)
76setsid 15626 . . 3 (((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V ∧ · ∈ V) → · = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
85, 7mp1i 13 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → · = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
9 matmulr.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10 eqid 2514 . . . 4 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
119, 10, 2matval 19939 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → 𝐴 = ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
1211fveq2d 5991 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (.r𝐴) = (.r‘((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) sSet ⟨(.r‘ndx), · ⟩)))
138, 12eqtr4d 2551 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → · = (.r𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  Vcvv 3077  cop 4034  cotp 4036   × cxp 4930  cfv 5689  (class class class)co 6426  Fincfn 7717  ndxcnx 15576   sSet csts 15577  .rcmulr 15653   freeLMod cfrlm 19812   maMul cmmul 19911   Mat cmat 19935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-ot 4037  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-sets 15585  df-mulr 15666  df-mat 19936
This theorem is referenced by:  matring  19971  matassa  19972  matmulcell  19973  mpt2matmul  19974  mat1  19975  mattposm  19987  mat1dimmul  20004  dmatmul  20025  mdetmul  20151  madurid  20172  slesolinv  20208  slesolinvbi  20209  cramerimplem3  20213  mat2pmatmul  20258  decpmatmullem  20298  decpmatmul  20299  matunitlindflem2  32466
  Copyright terms: Public domain W3C validator