Theorem matrcl 21020

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4298	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 21016	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7385	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	syl5eq 2868	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6673	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 16535	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2881	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 143	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494  ∅c0 4290  ⟨cop 4572  ⟨cotp 4574   × cxp 5552  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Fincfn 8508  ndxcnx 16479   sSet csts 16480  Basecbs 16482  ._rcmulr 16565   freeLMod cfrlm 20889   maMul cmmul 20993   Mat cmat 21015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fv 6362  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-slot 16486  df-base 16488  df-mat 21016

This theorem is referenced by:  matbas2i  21030  matecl  21033  matplusg2  21035  matvsca2  21036  matplusgcell  21041  matsubgcell  21042  matinvgcell  21043  matvscacell  21044  matmulcell  21053  mattposcl  21061  mattposvs  21063  mattposm  21067  matgsumcl  21068  madetsumid  21069  madetsmelbas  21072  madetsmelbas2  21073  marrepval0  21169  marrepval  21170  marrepcl  21172  marepvval0  21174  marepvval  21175  marepvcl  21177  ma1repveval  21179  mulmarep1gsum1  21181  mulmarep1gsum2  21182  submabas  21186  submaval0  21188  submaval  21189  mdetleib2  21196  mdetf  21203  mdetrlin  21210  mdetrsca  21211  mdetralt  21216  mdetmul  21231  maduval  21246  maducoeval2  21248  maduf  21249  madutpos  21250  madugsum  21251  madurid  21252  madulid  21253  minmar1val0  21255  minmar1val  21256  marep01ma  21268  smadiadetlem0  21269  smadiadetlem1a  21271  smadiadetlem3  21276  smadiadetlem4  21277  smadiadet  21278  smadiadetglem2  21280  matinv  21285  matunit  21286  slesolvec  21287  slesolinv  21288  slesolinvbi  21289  slesolex  21290  cramerimplem2  21292  cramerimplem3  21293  cramerimp  21294  decpmatcl  21374  decpmataa0  21375  decpmatmul  21379  smatcl  31067  matunitlindflem2  34888  matunitlindf  34889