MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matrcl 20266
Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matrcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
matrcl (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3953 . 2 (𝑋𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2 matrcl.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 df-mat 20262 . . . . . 6 Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
43mpt2ndm0 6917 . . . . 5 (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
52, 4syl5eq 2697 . . . 4 (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
65fveq2d 6233 . . 3 (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7 matrcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
8 base0 15959 . . 3 ∅ = (Base‘∅)
96, 7, 83eqtr4g 2710 . 2 (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
101, 9nsyl2 142 1 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  c0 3948  cop 4216  cotp 4218   × cxp 5141  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  ndxcnx 15901   sSet csts 15902  Basecbs 15904  .rcmulr 15989   freeLMod cfrlm 20138   maMul cmmul 20237   Mat cmat 20261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-slot 15908  df-base 15910  df-mat 20262
This theorem is referenced by:  matbas2i  20276  matecl  20279  matplusg2  20281  matvsca2  20282  matplusgcell  20287  matsubgcell  20288  matinvgcell  20289  matvscacell  20290  matmulcell  20299  mattposcl  20307  mattposvs  20309  mattposm  20313  matgsumcl  20314  madetsumid  20315  madetsmelbas  20318  madetsmelbas2  20319  marrepval0  20415  marrepval  20416  marrepcl  20418  marepvval0  20420  marepvval  20421  marepvcl  20423  ma1repveval  20425  mulmarep1gsum1  20427  mulmarep1gsum2  20428  submabas  20432  submaval0  20434  submaval  20435  mdetleib2  20442  mdetf  20449  mdetrlin  20456  mdetrsca  20457  mdetralt  20462  mdetmul  20477  maduval  20492  maducoeval2  20494  maduf  20495  madutpos  20496  madugsum  20497  madurid  20498  madulid  20499  minmar1val0  20501  minmar1val  20502  marep01ma  20514  smadiadetlem0  20515  smadiadetlem1a  20517  smadiadetlem3  20522  smadiadetlem4  20523  smadiadet  20524  smadiadetglem2  20526  matinv  20531  matunit  20532  slesolvec  20533  slesolinv  20534  slesolinvbi  20535  slesolex  20536  cramerimplem2  20538  cramerimplem3  20539  cramerimp  20540  decpmatcl  20620  decpmataa0  20621  decpmatmul  20625  smatcl  29996  matunitlindflem2  33536  matunitlindf  33537
  Copyright terms: Public domain W3C validator