MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matring 20297
Description: Existence of the matrix ring, see also the statement in [Lang] p. 504: "For a given integer n > 0 the set of square n x n matrices form a ring." (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
matassa.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
matring ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)

Proof of Theorem matring
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 matassa.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2651 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2matbas2 20275 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
4 eqidd 2652 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g𝐴) = (+g𝐴))
5 eqid 2651 . . 3 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
61, 5matmulr 20292 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
71matgrp 20284 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
8 simp1r 1106 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
9 simp1l 1105 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
10 simp2 1082 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
11 simp3 1083 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
122, 8, 5, 9, 9, 9, 10, 11mamucl 20255 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
13 simplr 807 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑅 ∈ Ring)
14 simpll 805 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑁 ∈ Fin)
15 simpr1 1087 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
16 simpr2 1088 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
17 simpr3 1089 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
182, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 16, 17, 5, 5, 5, 5mamuass 20256 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
19 eqid 2651 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
202, 13, 5, 14, 14, 14, 19, 15, 16, 17mamudir 20258 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
213adantr 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
2216, 21eleqtrd 2732 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
2317, 21eleqtrd 2732 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐴))
24 eqid 2651 . . . . . 6 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
25 eqid 2651 . . . . . 6 (+g𝐴) = (+g𝐴)
261, 24, 25, 19matplusg2 20281 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑦(+g𝐴)𝑧) = (𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧))
2722, 23, 26syl2anc 694 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(+g𝐴)𝑧) = (𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧))
2827oveq2d 6706 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦(+g𝐴)𝑧)) = (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧)))
292, 13, 5, 14, 14, 14, 15, 16mamucl 20255 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
3029, 21eleqtrd 2732 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ (Base‘𝐴))
312, 13, 5, 14, 14, 14, 15, 17mamucl 20255 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
3231, 21eleqtrd 2732 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴))
331, 24, 25, 19matplusg2 20281 . . . 4 (((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(+g𝐴)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
3430, 32, 33syl2anc 694 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(+g𝐴)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
3520, 28, 343eqtr4d 2695 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑦(+g𝐴)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦)(+g𝐴)(𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
362, 13, 5, 14, 14, 14, 19, 15, 16, 17mamudi 20257 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
3715, 21eleqtrd 2732 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
381, 24, 25, 19matplusg2 20281 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥(+g𝐴)𝑦) = (𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦))
3937, 22, 38syl2anc 694 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥(+g𝐴)𝑦) = (𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦))
4039oveq1d 6705 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(+g𝐴)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧))
412, 13, 5, 14, 14, 14, 16, 17mamucl 20255 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
4241, 21eleqtrd 2732 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴))
431, 24, 25, 19matplusg2 20281 . . . 4 (((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)(+g𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
4432, 42, 43syl2anc 694 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)(+g𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
4536, 40, 443eqtr4d 2695 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥(+g𝐴)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)(+g𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
46 simpr 476 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
47 eqid 2651 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
48 eqid 2651 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
49 eqid 2651 . . 3 (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r𝑅), (0g𝑅)))
50 simpl 472 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
512, 46, 47, 48, 49, 50mamumat1cl 20293 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
52 simplr 807 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
53 simpll 805 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
54 simpr 476 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
552, 52, 47, 48, 49, 53, 53, 5, 54mamulid 20295 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r𝑅), (0g𝑅)))(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑥) = 𝑥)
562, 52, 47, 48, 49, 53, 53, 5, 54mamurid 20296 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (1r𝑅), (0g𝑅)))) = 𝑥)
573, 4, 6, 7, 12, 18, 35, 45, 51, 55, 56isringd 18631 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  ifcif 4119  cotp 4218   × cxp 5141  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  𝑓 cof 6937  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  0gc0g 16147  1rcur 18547  Ringcrg 18593   maMul cmmul 20237   Mat cmat 20261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-mamu 20238  df-mat 20262
This theorem is referenced by:  matassa  20298  mat1  20301  mat1bas  20303  matsc  20304  mat0dim0  20321  mat0dimid  20322  mat0dimcrng  20324  mat1dimcrng  20331  mat1ghm  20337  mat1mhm  20338  mat1rhm  20339  mat1rngiso  20340  dmatid  20349  dmatsgrp  20353  dmatsrng  20355  scmatscmide  20361  scmatscmiddistr  20362  scmatmats  20365  scmatscm  20367  scmatid  20368  scmataddcl  20370  scmatsubcl  20371  scmatmulcl  20372  scmatsgrp  20373  scmatsrng  20374  smatvscl  20378  scmatrhmcl  20382  scmatf1  20385  scmatmhm  20388  mdet1  20455  mdetunilem8  20473  mdetuni0  20475  mdetmul  20477  madulid  20499  matunit  20532  slesolinv  20534  slesolinvbi  20535  slesolex  20536  pmatring  20546  mat2pmatghm  20583  mat2pmatmul  20584  mat2pmat1  20585  mat2pmatmhm  20586  mat2pmatrhm  20587  m2cpmrhm  20599  m2pmfzgsumcl  20601  m2cpmrngiso  20611  m2cpminv0  20614  decpmataa0  20621  decpmatmul  20625  monmatcollpw  20632  pmatcollpw3fi1lem1  20639  pmatcollpw3fi1lem2  20640  pm2mpf1lem  20647  pm2mpcl  20650  pm2mpf1  20652  pm2mpcoe1  20653  idpm2idmp  20654  mp2pm2mplem5  20663  mp2pm2mp  20664  pm2mpghmlem2  20665  pm2mpghmlem1  20666  pm2mpghm  20669  pm2mpmhmlem1  20671  pm2mpmhmlem2  20672  pm2mpmhm  20673  pm2mprhm  20674  pm2mprngiso  20675  monmat2matmon  20677  pm2mp  20678  chpmat0d  20687  chpmat1dlem  20688  chpmat1d  20689  chp0mat  20699  chpidmat  20700  cpmidgsumm2pm  20722  cpmidpmatlem2  20724  cpmidpmatlem3  20725  cpmadugsumlemB  20727  cpmadugsumlemC  20728  cayhamlem2  20737  chcoeffeqlem  20738  cayhamlem4  20741  matunitlindflem2  33536  matunitlindf  33537
  Copyright terms: Public domain W3C validator