MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matsc 20012
Description: The identity matrix multiplied with a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
matsc.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matsc.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
matsc.m · = ( ·𝑠𝐴)
matsc.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
matsc ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿 · (1r𝐴)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 )))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗, 0   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   · ,𝑖,𝑗   𝑖,𝐿,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗

Proof of Theorem matsc
StepHypRef Expression
1 simp3 1055 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → 𝐿𝐾)
2 3simpa 1050 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3 matsc.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
43matring 20005 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
5 eqid 2604 . . . . 5 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
6 eqid 2604 . . . . 5 (1r𝐴) = (1r𝐴)
75, 6ringidcl 18332 . . . 4 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
82, 4, 73syl 18 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
9 matsc.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
10 matsc.m . . . 4 · = ( ·𝑠𝐴)
11 eqid 2604 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
12 eqid 2604 . . . 4 (𝑁 × 𝑁) = (𝑁 × 𝑁)
133, 5, 9, 10, 11, 12matvsca2 19990 . . 3 ((𝐿𝐾 ∧ (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐿 · (1r𝐴)) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) ∘𝑓 (.r𝑅)(1r𝐴)))
141, 8, 13syl2anc 690 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿 · (1r𝐴)) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) ∘𝑓 (.r𝑅)(1r𝐴)))
15 simp1 1053 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → 𝑁 ∈ Fin)
16 simp13 1085 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐿𝐾)
17 fvex 6093 . . . . 5 (1r𝑅) ∈ V
18 matsc.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
19 fvex 6093 . . . . . 6 (0g𝑅) ∈ V
2018, 19eqeltri 2678 . . . . 5 0 ∈ V
2117, 20ifex 4100 . . . 4 if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 ) ∈ V
2221a1i 11 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 ) ∈ V)
23 fconstmpt2 6626 . . . 4 ((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐿)
2423a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → ((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐿))
25 eqid 2604 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
263, 25, 18mat1 20009 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 )))
27263adant3 1073 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 )))
2815, 15, 16, 22, 24, 27offval22 7112 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) ∘𝑓 (.r𝑅)(1r𝐴)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝐿(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 ))))
29 ovif2 6609 . . . 4 (𝐿(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 )) = if(𝑖 = 𝑗, (𝐿(.r𝑅)(1r𝑅)), (𝐿(.r𝑅) 0 ))
309, 11, 25ringridm 18336 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝐿)
31303adant1 1071 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝐿)
329, 11, 18ringrz 18352 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿(.r𝑅) 0 ) = 0 )
33323adant1 1071 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿(.r𝑅) 0 ) = 0 )
3431, 33ifeq12d 4050 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → if(𝑖 = 𝑗, (𝐿(.r𝑅)(1r𝑅)), (𝐿(.r𝑅) 0 )) = if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 ))
3529, 34syl5eq 2650 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 )) = if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 ))
3635mpt2eq3dv 6592 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝐿(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 ))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 )))
3714, 28, 363eqtrd 2642 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿 · (1r𝐴)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  Vcvv 3167  ifcif 4030  {csn 4119   × cxp 5021  cfv 5785  (class class class)co 6522  cmpt2 6524  𝑓 cof 6765  Fincfn 7813  Basecbs 15636  .rcmulr 15710   ·𝑠 cvsca 15713  0gc0g 15864  1rcur 18265  Ringcrg 18311   Mat cmat 19969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-inf2 8393  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-ot 4128  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-iin 4447  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-se 4983  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-isom 5794  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-of 6767  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-supp 7155  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-ixp 7767  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-fsupp 8131  df-sup 8203  df-oi 8270  df-card 8620  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-7 10926  df-8 10927  df-9 10928  df-n0 11135  df-z 11206  df-dec 11321  df-uz 11515  df-fz 12148  df-fzo 12285  df-seq 12614  df-hash 12930  df-struct 15638  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-ress 15643  df-plusg 15722  df-mulr 15723  df-sca 15725  df-vsca 15726  df-ip 15727  df-tset 15728  df-ple 15729  df-ds 15732  df-hom 15734  df-cco 15735  df-0g 15866  df-gsum 15867  df-prds 15872  df-pws 15874  df-mre 16010  df-mrc 16011  df-acs 16013  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-mhm 17099  df-submnd 17100  df-grp 17189  df-minusg 17190  df-sbg 17191  df-mulg 17305  df-subg 17355  df-ghm 17422  df-cntz 17514  df-cmn 17959  df-abl 17960  df-mgp 18254  df-ur 18266  df-ring 18313  df-subrg 18542  df-lmod 18629  df-lss 18695  df-sra 18934  df-rgmod 18935  df-dsmm 19832  df-frlm 19847  df-mamu 19946  df-mat 19970
This theorem is referenced by:  scmatscm  20075  madurid  20206  chmatval  20390
  Copyright terms: Public domain W3C validator