Theorem matsc 21053

Description: The identity matrix multiplied with a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
matsc.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matsc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
matsc.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)
matsc.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matsc	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (𝐿 · (1r‘𝐴)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 )))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗, 0   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   · ,𝑖,𝑗   𝑖,𝐿,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗

Proof of Theorem matsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → 𝐿 ∈ 𝐾)
2		3simpa 1144	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3		matsc.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4	3	matring 21046	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
5		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
6		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
7	5, 6	ringidcl 19312	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
8	2, 4, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
9		matsc.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
10		matsc.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)
11		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝑁 × 𝑁) = (𝑁 × 𝑁)
13	3, 5, 9, 10, 11, 12	matvsca2 21031	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐿 · (1r‘𝐴)) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) ∘f (.r‘𝑅)(1r‘𝐴)))
14	1, 8, 13	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (𝐿 · (1r‘𝐴)) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) ∘f (.r‘𝑅)(1r‘𝐴)))
15		simp1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ Fin)
16		simp13 1201	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐿 ∈ 𝐾)
17		fvex 6678	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
18		matsc.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19	18	fvexi 6679	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
20	17, 19	ifex 4515	. . . 4 ⊢ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), 0 ) ∈ V
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), 0 ) ∈ V)
22		fconstmpo 7263	. . . 4 ⊢ ((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐿)
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → ((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐿))
24		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
25	3, 24, 18	mat1 21050	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), 0 )))
26	25	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (1r‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), 0 )))
27	15, 15, 16, 21, 23, 26	offval22 7777	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) ∘f (.r‘𝑅)(1r‘𝐴)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝐿(.r‘𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), 0 ))))
28		ovif2 7246	. . . 4 ⊢ (𝐿(.r‘𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝑖 = 𝑗, (𝐿(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝐿(.r‘𝑅) 0 ))
29	9, 11, 24	ringridm 19316	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (𝐿(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝐿)
30	29	3adant1 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (𝐿(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝐿)
31	9, 11, 18	ringrz 19332	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (𝐿(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
32	31	3adant1 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (𝐿(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
33	30, 32	ifeq12d 4487	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → if(𝑖 = 𝑗, (𝐿(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝐿(.r‘𝑅) 0 )) = if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 ))
34	28, 33	syl5eq 2868	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (𝐿(.r‘𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 ))
35	34	mpoeq3dv 7227	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝐿(.r‘𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 )))
36	14, 27, 35	3eqtrd 2860	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (𝐿 · (1r‘𝐴)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3495  ifcif 4467  {csn 4561   × cxp 5548  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152   ∘_f cof 7401  Fincfn 8503  Basecbs 16477  ._rcmulr 16560   ·_𝑠 cvsca 16563  0_gc0g 16707  1_rcur 19245  Ringcrg 19291   Mat cmat 21010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-hom 16583  df-cco 16584  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-prds 16715  df-pws 16717  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-ghm 18350  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-subrg 19527  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-dsmm 20870  df-frlm 20885  df-mamu 20989  df-mat 21011

This theorem is referenced by:  scmatscm  21116  madurid  21247  chmatval  21431