Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matunitlindf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matunitlindf 33074
Description: A matrix over a field is invertible iff the rows are linearly independent. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
matunitlindf ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))

Proof of Theorem matunitlindf
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6617 . . . . . . . . 9 (𝐼 = ∅ → (𝐼 Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅))
21fveq2d 6157 . . . . . . . 8 (𝐼 = ∅ → (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
3 mat0dimbas0 20204 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Field → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
42, 3sylan9eq 2675 . . . . . . 7 ((𝐼 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ Field) → (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) = {∅})
54eleq2d 2684 . . . . . 6 ((𝐼 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ Field) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀 ∈ {∅}))
6 elsni 4170 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {∅} → 𝑀 = ∅)
75, 6syl6bi 243 . . . . 5 ((𝐼 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ Field) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → 𝑀 = ∅))
87imdistanda 728 . . . 4 (𝐼 = ∅ → ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 = ∅)))
98impcom 446 . . 3 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 = ∅))
10 isfld 18688 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
1110simplbi 476 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ DivRing)
12 drngring 18686 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
13 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
1413mat0dimid 20206 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat 𝑅)) = ∅)
15 0fin 8140 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ Fin
1613matring 20181 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∅ Mat 𝑅) ∈ Ring)
1715, 16mpan 705 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (∅ Mat 𝑅) ∈ Ring)
18 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) = (Unit‘(∅ Mat 𝑅))
19 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (1r‘(∅ Mat 𝑅)) = (1r‘(∅ Mat 𝑅))
2018, 191unit 18590 . . . . . . . . 9 ((∅ Mat 𝑅) ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat 𝑅)) ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
2117, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat 𝑅)) ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
2214, 21eqeltrrd 2699 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
2311, 12, 223syl 18 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Field → ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
24 f0 6048 . . . . . . . . 9 ∅:∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅))
25 dm0 5304 . . . . . . . . . 10 dom ∅ = ∅
2625feq2i 5999 . . . . . . . . 9 (∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) ↔ ∅:∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)))
2724, 26mpbir 221 . . . . . . . 8 ∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅))
28 rzal 4050 . . . . . . . . 9 (dom ∅ = ∅ → ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥}))))
2925, 28ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥})))
30 ovex 6638 . . . . . . . . 9 (𝑅 freeLMod ∅) ∈ V
31 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) = (Base‘(𝑅 freeLMod ∅))
32 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))
33 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅)) = (LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))
34 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))
35 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))
36 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) = (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))
3731, 32, 33, 34, 35, 36islindf 20083 . . . . . . . . 9 (((𝑅 freeLMod ∅) ∈ V ∧ ∅ ∈ Fin) → (∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅) ↔ (∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥}))))))
3830, 15, 37mp2an 707 . . . . . . . 8 (∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅) ↔ (∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥})))))
3927, 29, 38mpbir2an 954 . . . . . . 7 ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)
4039a1i 11 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Field → ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅))
4123, 402thd 255 . . . . 5 (𝑅 ∈ Field → (∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)))
421fveq2d 6157 . . . . . . . 8 (𝐼 = ∅ → (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
43 eleq12 2688 . . . . . . . 8 ((𝑀 = ∅ ∧ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Unit‘(∅ Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅))))
4442, 43sylan2 491 . . . . . . 7 ((𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅))))
45 cureq 33052 . . . . . . . . 9 (𝑀 = ∅ → curry 𝑀 = curry ∅)
46 df-cur 7345 . . . . . . . . . 10 curry ∅ = (𝑥 ∈ dom dom ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧})
4725dmeqi 5290 . . . . . . . . . . . 12 dom dom ∅ = dom ∅
4847, 25eqtri 2643 . . . . . . . . . . 11 dom dom ∅ = ∅
49 mpteq1 4702 . . . . . . . . . . 11 (dom dom ∅ = ∅ → (𝑥 ∈ dom dom ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom dom ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧})
51 mpt0 5983 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}) = ∅
5246, 50, 513eqtri 2647 . . . . . . . . 9 curry ∅ = ∅
5345, 52syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝑀 = ∅ → curry 𝑀 = ∅)
54 oveq2 6618 . . . . . . . 8 (𝐼 = ∅ → (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod ∅))
5553, 54breqan12d 4634 . . . . . . 7 ((𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)))
5644, 55bibi12d 335 . . . . . 6 ((𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅) → ((𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) ↔ (∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅))))
5756biimparc 504 . . . . 5 (((∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)) ∧ (𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅)) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
5841, 57sylan 488 . . . 4 ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅)) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
5958anassrs 679 . . 3 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 = ∅) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
609, 59sylancom 700 . 2 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
6110simprbi 480 . . . . 5 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ CRing)
62 eqid 2621 . . . . . 6 (𝐼 Mat 𝑅) = (𝐼 Mat 𝑅)
63 eqid 2621 . . . . . 6 (𝐼 maDet 𝑅) = (𝐼 maDet 𝑅)
64 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))
65 eqid 2621 . . . . . 6 (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅))
66 eqid 2621 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
6762, 63, 64, 65, 66matunit 20416 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
6861, 67sylan 488 . . . 4 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
6968adantr 481 . . 3 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
70 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
71 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) = (0g𝑅)
7270, 66, 71drngunit 18684 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ DivRing → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅))))
7311, 72syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Field → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅))))
7473adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅))))
7563, 62, 64, 70mdetcl 20334 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
7661, 75sylan 488 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
7776biantrurd 529 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅))))
7874, 77bitr4d 271 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅)))
7978adantr 481 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅)))
8062, 64matrcl 20150 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
8180simpld 475 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → 𝐼 ∈ Fin)
8281pm4.71i 663 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin))
83 xpfi 8183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin)
8483anidms 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ Fin → (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin)
85 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) = (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))
8685, 70frlmfibas 20037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝐼 × 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
8784, 86sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝐼 × 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
8862, 85matbas 20151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Field) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)))
8988ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)))
9087, 89eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝐼 × 𝐼)) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)))
9190eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))))
92 fvex 6163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑅) ∈ V
93 elmapg 7822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin) → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
9492, 84, 93sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
9594adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
9691, 95bitr3d 270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
9796ex 450 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Field → (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))))
9897pm5.32rd 671 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Field → ((𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ↔ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
9982, 98syl5bb 272 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Field → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
10099biimpd 219 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Field → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
101100imdistani 725 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑅 ∈ Field ∧ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
102 anass 680 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ↔ (𝑅 ∈ Field ∧ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
103101, 102sylibr 224 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin))
104 eldifsn 4292 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅))
105 matunitlindflem1 33072 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
106105necon1ad 2807 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
107104, 106sylan2br 493 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
108107anassrs 679 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
109103, 108sylan 488 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
11079, 109sylbid 230 . . . 4 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
111 matunitlindflem2 33073 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))
112111ex 450 . . . 4 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
113110, 112impbid 202 . . 3 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
11469, 113bitrd 268 . 2 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
11560, 114pm2.61dane 2877 1 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  Vcvv 3189  cdif 3556  c0 3896  {csn 4153  cop 4159   class class class wbr 4618  {copab 4677  cmpt 4678   × cxp 5077  dom cdm 5079  cima 5082  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  curry ccur 7343  𝑚 cmap 7809  Fincfn 7907  Basecbs 15792  Scalarcsca 15876   ·𝑠 cvsca 15877  0gc0g 16032  1rcur 18433  Ringcrg 18479  CRingccrg 18480  Unitcui 18571  DivRingcdr 18679  Fieldcfield 18680  LSpanclspn 18903   freeLMod cfrlm 20022   LIndF clindf 20075   Mat cmat 20145   maDet cmdat 20322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-xor 1462  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-ot 4162  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-tpos 7304  df-cur 7345  df-unc 7346  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-word 13246  df-lsw 13247  df-concat 13248  df-s1 13249  df-substr 13250  df-splice 13251  df-reverse 13252  df-s2 13538  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-prds 16040  df-pws 16042  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-mri 16180  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mhm 17267  df-submnd 17268  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-mulg 17473  df-subg 17523  df-ghm 17590  df-gim 17633  df-cntz 17682  df-oppg 17708  df-symg 17730  df-pmtr 17794  df-psgn 17843  df-evpm 17844  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-srg 18438  df-ring 18481  df-cring 18482  df-oppr 18555  df-dvdsr 18573  df-unit 18574  df-invr 18604  df-dvr 18615  df-rnghom 18647  df-drng 18681  df-field 18682  df-subrg 18710  df-lmod 18797  df-lss 18865  df-lsp 18904  df-lmhm 18954  df-lbs 19007  df-lvec 19035  df-sra 19104  df-rgmod 19105  df-nzr 19190  df-assa 19244  df-cnfld 19679  df-zring 19751  df-zrh 19784  df-dsmm 20008  df-frlm 20023  df-uvc 20054  df-lindf 20077  df-linds 20078  df-mamu 20122  df-mat 20146  df-mdet 20323  df-madu 20372
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator