Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matvsca2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matvsca2 20282
 Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matvsca2.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matvsca2.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matvsca2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
matvsca2.v · = ( ·𝑠𝐴)
matvsca2.t × = (.r𝑅)
matvsca2.c 𝐶 = (𝑁 × 𝑁)
Assertion
Ref Expression
matvsca2 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = ((𝐶 × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌))

Proof of Theorem matvsca2
StepHypRef Expression
1 matvsca2.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 matvsca2.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2matrcl 20266 . . . . . 6 (𝑌𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
43adantl 481 . . . . 5 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
61, 5matvsca 20270 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠𝐴))
74, 6syl 17 . . . 4 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠𝐴))
8 matvsca2.v . . . 4 · = ( ·𝑠𝐴)
97, 8syl6eqr 2703 . . 3 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = · )
109oveqd 6707 . 2 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
11 eqid 2651 . . . 4 (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
12 matvsca2.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
134simpld 474 . . . . 5 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
14 xpfi 8272 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
1513, 13, 14syl2anc 694 . . . 4 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
16 simpl 472 . . . 4 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑋𝐾)
17 simpr 476 . . . . 5 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
181, 5matbas 20267 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
194, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
2019, 2syl6eqr 2703 . . . . 5 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = 𝐵)
2117, 20eleqtrrd 2733 . . . 4 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
22 eqid 2651 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
23 matvsca2.t . . . 4 × = (.r𝑅)
245, 11, 12, 15, 16, 21, 22, 23frlmvscafval 20157 . . 3 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌))
25 matvsca2.c . . . . 5 𝐶 = (𝑁 × 𝑁)
2625xpeq1i 5169 . . . 4 (𝐶 × {𝑋}) = ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋})
2726oveq1i 6700 . . 3 ((𝐶 × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)
2824, 27syl6eqr 2703 . 2 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = ((𝐶 × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌))
2910, 28eqtr3d 2687 1 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = ((𝐶 × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  {csn 4210   × cxp 5141  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937  Fincfn 7997  Basecbs 15904  .rcmulr 15989   ·𝑠 cvsca 15992   freeLMod cfrlm 20138   Mat cmat 20261 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-prds 16155  df-pws 16157  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-mat 20262 This theorem is referenced by:  matvscacell  20290  matassa  20298  matsc  20304  mattposvs  20309  mat1dimscm  20329
 Copyright terms: Public domain W3C validator