MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matvsca2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matvsca2 19992
Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matvsca2.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matvsca2.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matvsca2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
matvsca2.v · = ( ·𝑠𝐴)
matvsca2.t × = (.r𝑅)
matvsca2.c 𝐶 = (𝑁 × 𝑁)
Assertion
Ref Expression
matvsca2 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = ((𝐶 × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌))

Proof of Theorem matvsca2
StepHypRef Expression
1 matvsca2.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 matvsca2.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2matrcl 19976 . . . . . 6 (𝑌𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
43adantl 480 . . . . 5 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5 eqid 2606 . . . . . 6 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
61, 5matvsca 19980 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠𝐴))
74, 6syl 17 . . . 4 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠𝐴))
8 matvsca2.v . . . 4 · = ( ·𝑠𝐴)
97, 8syl6eqr 2658 . . 3 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = · )
109oveqd 6541 . 2 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
11 eqid 2606 . . . 4 (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
12 matvsca2.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
134simpld 473 . . . . 5 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
14 xpfi 8090 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
1513, 13, 14syl2anc 690 . . . 4 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
16 simpl 471 . . . 4 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑋𝐾)
17 simpr 475 . . . . 5 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
181, 5matbas 19977 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
194, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
2019, 2syl6eqr 2658 . . . . 5 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = 𝐵)
2117, 20eleqtrrd 2687 . . . 4 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
22 eqid 2606 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
23 matvsca2.t . . . 4 × = (.r𝑅)
245, 11, 12, 15, 16, 21, 22, 23frlmvscafval 19867 . . 3 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌))
25 matvsca2.c . . . . 5 𝐶 = (𝑁 × 𝑁)
2625xpeq1i 5046 . . . 4 (𝐶 × {𝑋}) = ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋})
2726oveq1i 6534 . . 3 ((𝐶 × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)
2824, 27syl6eqr 2658 . 2 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = ((𝐶 × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌))
2910, 28eqtr3d 2642 1 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = ((𝐶 × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3169  {csn 4121   × cxp 5023  cfv 5787  (class class class)co 6524  𝑓 cof 6767  Fincfn 7815  Basecbs 15638  .rcmulr 15712   ·𝑠 cvsca 15715   freeLMod cfrlm 19848   Mat cmat 19971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-ot 4130  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-ixp 7769  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-sup 8205  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-fz 12150  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-ip 15729  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-hom 15736  df-cco 15737  df-prds 15874  df-pws 15876  df-sra 18936  df-rgmod 18937  df-dsmm 19834  df-frlm 19849  df-mat 19972
This theorem is referenced by:  matvscacell  20000  matassa  20008  matsc  20014  mattposvs  20019  mat1dimscm  20039
  Copyright terms: Public domain W3C validator