MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matvscacell Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matvscacell 19999
Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusgcell.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matvscacell.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
matvscacell.v · = ( ·𝑠𝐴)
matvscacell.t × = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
matvscacell ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 · 𝑌)𝐽) = (𝑋 × (𝐼𝑌𝐽)))

Proof of Theorem matvscacell
StepHypRef Expression
1 matplusgcell.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 matplusgcell.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 matvscacell.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 matvscacell.v . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐴)
5 matvscacell.t . . . . 5 × = (.r𝑅)
6 eqid 2605 . . . . 5 (𝑁 × 𝑁) = (𝑁 × 𝑁)
71, 2, 3, 4, 5, 6matvsca2 19991 . . . 4 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌))
87oveqd 6540 . . 3 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝐼(𝑋 · 𝑌)𝐽) = (𝐼(((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)𝐽))
983ad2ant2 1075 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 · 𝑌)𝐽) = (𝐼(((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)𝐽))
10 df-ov 6526 . . 3 (𝐼(((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)𝐽) = ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
1110a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)𝐽) = ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩))
12 opelxpi 5058 . . . 4 ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁))
13123ad2ant3 1076 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁))
141, 2matrcl 19975 . . . . . . . 8 (𝑌𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1514simpld 473 . . . . . . 7 (𝑌𝐵𝑁 ∈ Fin)
1615adantl 480 . . . . . 6 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
17163ad2ant2 1075 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
18 xpfi 8089 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
1917, 17, 18syl2anc 690 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
20 simp2l 1079 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑋𝐾)
212eleq2i 2675 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
2221biimpi 204 . . . . . . . 8 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
2322adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
24233ad2ant2 1075 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
25 simp1 1053 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
26 eqid 2605 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
271, 26matbas2 19984 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
2817, 25, 27syl2anc 690 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
2924, 28eleqtrrd 2686 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
30 elmapfn 7739 . . . . 5 (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
3129, 30syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
32 df-ov 6526 . . . . . 6 (𝐼𝑌𝐽) = (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
3332eqcomi 2614 . . . . 5 (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽)
3433a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽))
3519, 20, 31, 34ofc1 6791 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝑋 × (𝐼𝑌𝐽)))
3613, 35mpdan 698 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝑋 × (𝐼𝑌𝐽)))
379, 11, 363eqtrd 2643 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 · 𝑌)𝐽) = (𝑋 × (𝐼𝑌𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  Vcvv 3168  {csn 4120  cop 4126   × cxp 5022   Fn wfn 5781  cfv 5786  (class class class)co 6523  𝑓 cof 6766  𝑚 cmap 7717  Fincfn 7814  Basecbs 15637  .rcmulr 15711   ·𝑠 cvsca 15714  Ringcrg 18312   Mat cmat 19970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-ot 4129  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-sup 8204  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-fz 12149  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-hom 15735  df-cco 15736  df-0g 15867  df-prds 15873  df-pws 15875  df-sra 18935  df-rgmod 18936  df-dsmm 19833  df-frlm 19848  df-mat 19971
This theorem is referenced by:  dmatscmcl  20066  scmatscmide  20070  scmatscm  20076  mat2pmatlin  20297  monmatcollpw  20341  pmatcollpwlem  20342  chpmat1dlem  20397  chpdmatlem2  20401  chpdmatlem3  20402
  Copyright terms: Public domain W3C validator