MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmul0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmul0g 20273
Description: The result of the 0-dimensional multiplication of a matrix with a vector is always the empty set. (Contributed by AV, 1-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mavmul0.t · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
mavmul0g ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)

Proof of Theorem mavmul0g
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 6614 . . 3 ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → (𝑋 · 𝑌) = (∅ · ∅))
2 mavmul0.t . . . 4 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
32mavmul0 20272 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)
41, 3sylan9eq 2680 . 2 (((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) ∧ (𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉)) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
5 eqid 2626 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2626 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
7 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → 𝑅𝑉)
8 0fin 8133 . . . . . . . 8 ∅ ∈ Fin
9 eleq1 2692 . . . . . . . 8 (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
108, 9mpbiri 248 . . . . . . 7 (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ Fin)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
122, 5, 6, 7, 11, 11mvmulfval 20262 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → · = (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) ↦ (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙)))))))
1312dmeqd 5291 . . . 4 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → dom · = dom (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) ↦ (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙)))))))
14 0ex 4755 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
15 eleq1 2692 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
1614, 15mpbiri 248 . . . . . . . . 9 (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ V)
17 mptexg 6439 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ V → (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙))))) ∈ V)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 = ∅ → (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙))))) ∈ V)
1918adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙))))) ∈ V)
2019adantr 481 . . . . . 6 (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) ∧ (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁))) → (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙))))) ∈ V)
2120ralrimivva 2970 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → ∀𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))∀𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)(𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙))))) ∈ V)
22 eqid 2626 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) ↦ (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙)))))) = (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) ↦ (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙))))))
2322dmmpt2ga 7188 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))∀𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)(𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙))))) ∈ V → dom (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) ↦ (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙)))))) = (((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)))
2421, 23syl 17 . . . 4 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) ↦ (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙)))))) = (((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)))
25 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = ∅ → 𝑁 = ∅)
2625, 25xpeq12d 5105 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = ∅ → (𝑁 × 𝑁) = (∅ × ∅))
27 0xp 5165 . . . . . . . . . 10 (∅ × ∅) = ∅
2826, 27syl6eq 2676 . . . . . . . . 9 (𝑁 = ∅ → (𝑁 × 𝑁) = ∅)
2928oveq2d 6621 . . . . . . . 8 (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ∅))
30 fvex 6160 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) ∈ V
31 map0e 7840 . . . . . . . . 9 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ∅) = 1𝑜)
3230, 31mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ∅) = 1𝑜)
3329, 32eqtrd 2660 . . . . . . 7 (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = 1𝑜)
3433adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = 1𝑜)
35 df1o2 7518 . . . . . 6 1𝑜 = {∅}
3634, 35syl6eq 2676 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = {∅})
37 oveq2 6613 . . . . . 6 (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ∅))
3830, 31mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑅𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ∅) = 1𝑜)
3938, 35syl6eq 2676 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ∅) = {∅})
4037, 39sylan9eq 2680 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) = {∅})
4136, 40xpeq12d 5105 . . . 4 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)) = ({∅} × {∅}))
4213, 24, 413eqtrd 2664 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → dom · = ({∅} × {∅}))
43 elsni 4170 . . . . 5 (𝑋 ∈ {∅} → 𝑋 = ∅)
44 elsni 4170 . . . . 5 (𝑌 ∈ {∅} → 𝑌 = ∅)
4543, 44anim12i 589 . . . 4 ((𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 ∈ {∅}) → (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅))
4645con3i 150 . . 3 (¬ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ¬ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 ∈ {∅}))
47 ndmovg 6771 . . 3 ((dom · = ({∅} × {∅}) ∧ ¬ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 ∈ {∅})) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
4842, 46, 47syl2anr 495 . 2 ((¬ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) ∧ (𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉)) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
494, 48pm2.61ian 830 1 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  Vcvv 3191  c0 3896  {csn 4153  cop 4159  cmpt 4678   × cxp 5077  dom cdm 5079  cfv 5850  (class class class)co 6605  cmpt2 6607  1𝑜c1o 7499  𝑚 cmap 7803  Fincfn 7900  Basecbs 15776  .rcmulr 15858   Σg cgsu 16017   maVecMul cmvmul 20260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-ot 4162  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12266  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-hom 15882  df-cco 15883  df-0g 16018  df-prds 16024  df-pws 16026  df-sra 19086  df-rgmod 19087  df-dsmm 19990  df-frlm 20005  df-mat 20128  df-mvmul 20261
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator