MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmuldm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmuldm 21087
Description: The domain of the matrix vector multiplication function. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmuldm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmuldm.c 𝐶 = (𝐵m (𝑀 × 𝑁))
mavmuldm.d 𝐷 = (𝐵m 𝑁)
mavmuldm.t · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
mavmuldm ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem mavmuldm
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mavmuldm.t . . . 4 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2 mavmuldm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2818 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 simp1 1128 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅𝑉)
5 simp2 1129 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑀 ∈ Fin)
6 simp3 1130 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
71, 2, 3, 4, 5, 6mvmulfval 21079 . . 3 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → · = (𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗)))))))
87dmeqd 5767 . 2 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = dom (𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗)))))))
9 mptexg 6975 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Fin → (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))) ∈ V)
1093ad2ant2 1126 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))) ∈ V)
1110a1d 25 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁)) → (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))) ∈ V))
1211ralrimivv 3187 . . 3 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁)(𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))) ∈ V)
13 eqid 2818 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗)))))) = (𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))))
1413dmmpoga 7760 . . 3 (∀𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁)(𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))) ∈ V → dom (𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗)))))) = ((𝐵m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵m 𝑁)))
1512, 14syl 17 . 2 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom (𝑥 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵m 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗)))))) = ((𝐵m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵m 𝑁)))
16 mavmuldm.c . . . . 5 𝐶 = (𝐵m (𝑀 × 𝑁))
1716eqcomi 2827 . . . 4 (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) = 𝐶
1817a1i 11 . . 3 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) = 𝐶)
19 mavmuldm.d . . . . 5 𝐷 = (𝐵m 𝑁)
2019a1i 11 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 = (𝐵m 𝑁))
2120eqcomd 2824 . . 3 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐵m 𝑁) = 𝐷)
2218, 21xpeq12d 5579 . 2 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝐵m (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵m 𝑁)) = (𝐶 × 𝐷))
238, 15, 223eqtrd 2857 1 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  Vcvv 3492  cop 4563  cmpt 5137   × cxp 5546  dom cdm 5548  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  m cmap 8395  Fincfn 8497  Basecbs 16471  .rcmulr 16554   Σg cgsu 16702   maVecMul cmvmul 21077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-mvmul 21078
This theorem is referenced by:  mavmulsolcl  21088
  Copyright terms: Public domain W3C validator