Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmuldm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmuldm 20296
 Description: The domain of the matrix vector multiplication function. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmuldm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmuldm.c 𝐶 = (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁))
mavmuldm.d 𝐷 = (𝐵𝑚 𝑁)
mavmuldm.t · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
mavmuldm ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem mavmuldm
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mavmuldm.t . . . 4 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2 mavmuldm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2621 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 simp1 1059 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅𝑉)
5 simp2 1060 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑀 ∈ Fin)
6 simp3 1061 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
71, 2, 3, 4, 5, 6mvmulfval 20288 . . 3 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → · = (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗)))))))
87dmeqd 5296 . 2 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = dom (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗)))))))
9 mptexg 6449 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Fin → (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))) ∈ V)
1093ad2ant2 1081 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))) ∈ V)
1110a1d 25 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝑁)) → (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))) ∈ V))
1211ralrimivv 2966 . . 3 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝑁)(𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))) ∈ V)
13 eqid 2621 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗)))))) = (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))))
1413dmmpt2ga 7202 . . 3 (∀𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁))∀𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝑁)(𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗))))) ∈ V → dom (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗)))))) = ((𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵𝑚 𝑁)))
1512, 14syl 17 . 2 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)), 𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝑁) ↦ (𝑖𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑗)(.r𝑅)(𝑦𝑗)))))) = ((𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵𝑚 𝑁)))
16 mavmuldm.c . . . . 5 𝐶 = (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁))
1716eqcomi 2630 . . . 4 (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)) = 𝐶
1817a1i 11 . . 3 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)) = 𝐶)
19 mavmuldm.d . . . . 5 𝐷 = (𝐵𝑚 𝑁)
2019a1i 11 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 = (𝐵𝑚 𝑁))
2120eqcomd 2627 . . 3 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐵𝑚 𝑁) = 𝐷)
2218, 21xpeq12d 5110 . 2 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)) × (𝐵𝑚 𝑁)) = (𝐶 × 𝐷))
238, 15, 223eqtrd 2659 1 ((𝑅𝑉𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → dom · = (𝐶 × 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2908  Vcvv 3190  ⟨cop 4161   ↦ cmpt 4683   × cxp 5082  dom cdm 5084  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615   ↦ cmpt2 6617   ↑𝑚 cmap 7817  Fincfn 7915  Basecbs 15800  .rcmulr 15882   Σg cgsu 16041   maVecMul cmvmul 20286 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-mvmul 20287 This theorem is referenced by:  mavmulsolcl  20297
 Copyright terms: Public domain W3C validator