Theorem max0sub 12583

Description: Decompose a real number into positive and negative parts. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
max0sub	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = 𝐴)

Proof of Theorem max0sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 10638	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		iftrue 4472	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 𝐴)
4	3	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 𝐴)
5		0xr 10682	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6		renegcl 10943	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ∈ ℝ)
8	7	rexrd 10685	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ∈ ℝ*)
9		le0neg2 11143	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 0))
10	9	biimpa 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ≤ 0)
11		xrmaxeq 12566	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ -𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = 0)
12	5, 8, 10, 11	mp3an2i 1462	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = 0)
13	4, 12	oveq12d 7168	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (𝐴 − 0))
14		recn 10621	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	subid1d 10980	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
17	13, 16	eqtrd 2856	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = 𝐴)
18		rexr 10681	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
19	18	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
20		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
21		xrmaxeq 12566	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 0)
22	5, 19, 20, 21	mp3an2i 1462	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 0)
23		le0neg1 11142	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
24	23	biimpa 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐴)
25	24	iftrued 4474	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = -𝐴)
26	22, 25	oveq12d 7168	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (0 − -𝐴))
27		df-neg 10867	. . . 4 ⊢ --𝐴 = (0 − -𝐴)
28	14	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
29	28	negnegd 10982	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → --𝐴 = 𝐴)
30	27, 29	syl5eqr 2870	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (0 − -𝐴) = 𝐴)
31	26, 30	eqtrd 2856	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = 𝐴)
32	1, 2, 17, 31	lecasei 10740	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ifcif 4466   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  ℝ^*cxr 10668   ≤ cle 10670   − cmin 10864  -cneg 10865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867

This theorem is referenced by:  mbfi1flimlem  24317  itgitg1  24403  itgconst  24413  itgaddlem2  24418  itgmulc2lem2  24427  itgaddnclem2  34945  itgmulc2nclem2  34953