Theorem max1 12577

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 12578. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 10686	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 10686	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 12567	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110  ifcif 4466   class class class wbr 5065  ℝcr 10535  ℝ^*cxr 10673   ≤ cle 10675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680

This theorem is referenced by:  z2ge  12590  ssfzunsnext  12951  uzsup  13230  expmulnbnd  13595  discr1  13599  rexuzre  14711  rexico  14712  caubnd  14717  limsupgre  14837  limsupbnd2  14839  rlim3  14854  lo1bdd2  14880  o1lo1  14893  rlimclim1  14901  lo1mul  14983  rlimno1  15009  cvgrat  15238  ruclem10  15591  bitsfzo  15783  1arith  16262  setsstruct2  16520  evth  23562  ioombl1lem1  24158  mbfi1flimlem  24322  itg2monolem3  24352  iblre  24393  itgreval  24396  iblss  24404  i1fibl  24407  itgitg1  24408  itgle  24409  itgeqa  24413  iblconst  24417  itgconst  24418  ibladdlem  24419  itgaddlem2  24423  iblabslem  24427  iblabsr  24429  iblmulc2  24430  itgmulc2lem2  24432  itgsplit  24435  plyaddlem1  24802  coeaddlem  24838  o1cxp  25551  cxp2lim  25553  cxploglim2  25555  ftalem1  25649  ftalem2  25650  chtppilim  26050  dchrisumlem3  26066  ostth2lem2  26209  ostth3  26213  knoppndvlem18  33868  ibladdnclem  34947  itgaddnclem2  34950  iblabsnclem  34954  iblmulc2nc  34956  itgmulc2nclem2  34958  ftc1anclem5  34970  irrapxlem4  39420  irrapxlem5  39421  rexabslelem  41690  uzublem  41702  max1d  41723  uzubioo  41841  climsuse  41887  limsupubuzlem  41991  limsupmnfuzlem  42005  limsupequzmptlem  42007  limsupre3uzlem  42014  liminflelimsuplem  42054  ioodvbdlimc1lem2  42215  ioodvbdlimc2lem  42217