Theorem max1 12201

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 12202. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 10269	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 10269	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax1 12191	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 495	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2131  ifcif 4222   class class class wbr 4796  ℝcr 10119  ℝ^*cxr 10257   ≤ cle 10259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264

This theorem is referenced by:  z2ge  12214  ssfzunsnext  12571  uzsup  12848  expmulnbnd  13182  discr1  13186  rexuzre  14283  rexico  14284  caubnd  14289  limsupgre  14403  limsupbnd2  14405  rlim3  14420  lo1bdd2  14446  o1lo1  14459  rlimclim1  14467  lo1mul  14549  rlimno1  14575  cvgrat  14806  ruclem10  15159  bitsfzo  15351  1arith  15825  setsstruct2  16090  evth  22951  ioombl1lem1  23518  mbfi1flimlem  23680  itg2monolem3  23710  iblre  23751  itgreval  23754  iblss  23762  i1fibl  23765  itgitg1  23766  itgle  23767  itgeqa  23771  iblconst  23775  itgconst  23776  ibladdlem  23777  itgaddlem2  23781  iblabslem  23785  iblabsr  23787  iblmulc2  23788  itgmulc2lem2  23790  itgsplit  23793  plyaddlem1  24160  coeaddlem  24196  o1cxp  24892  cxp2lim  24894  cxploglim2  24896  ftalem1  24990  ftalem2  24991  chtppilim  25355  dchrisumlem3  25371  ostth2lem2  25514  ostth3  25518  knoppndvlem18  32818  ibladdnclem  33771  itgaddnclem2  33774  iblabsnclem  33778  iblmulc2nc  33780  itgmulc2nclem2  33782  ftc1anclem5  33794  irrapxlem4  37883  irrapxlem5  37884  rexabslelem  40135  uzublem  40147  max1d  40168  uzubioo  40289  climsuse  40335  limsupubuzlem  40439  limsupmnfuzlem  40453  limsupequzmptlem  40455  limsupre3uzlem  40462  liminflelimsuplem  40502  ioodvbdlimc1lem2  40642  ioodvbdlimc2lem  40644