HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mayete3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mayete3i 27759
Description: Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 1223. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3.a 𝐴C
mayete3.b 𝐵C
mayete3.c 𝐶C
mayete3.d 𝐷C
mayete3.f 𝐹C
mayete3.g 𝐺C
mayete3.ac 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
mayete3.af 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayete3.cf 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayete3.ab 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
mayete3.cd 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
mayete3.fg 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
mayete3.x 𝑋 = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
mayete3.y 𝑌 = (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))
mayete3.z 𝑍 = ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
Assertion
Ref Expression
mayete3i (𝑋𝑌) ⊆ 𝑍

Proof of Theorem mayete3i
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3662 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ↔ (𝑥𝑋𝑥𝑌))
2 mayete3.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴C
3 mayete3.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐶C
42, 3chjcli 27488 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 𝐶) ∈ C
5 mayete3.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹C
64, 5chjcli 27488 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∈ C
76cheli 27261 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) → 𝑥 ∈ ℋ)
8 mayete3.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
97, 8eleq2s 2610 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋𝑥 ∈ ℋ)
109adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑋𝑥𝑌) → 𝑥 ∈ ℋ)
111, 10sylbi 205 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥 ∈ ℋ)
12 ax-hvmulid 27035 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
13 2cn 10846 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
14 2ne0 10868 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
15 recid2 10449 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((1 / 2) · 2) = 1)
1613, 14, 15mp2an 703 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) · 2) = 1
1716oveq1i 6436 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) · 2) · 𝑥) = (1 · 𝑥)
18 halfcn 11002 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℂ
19 ax-hvmulass 27036 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((1 / 2) · 2) · 𝑥) = ((1 / 2) · (2 · 𝑥)))
2018, 13, 19mp3an12 1405 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (((1 / 2) · 2) · 𝑥) = ((1 / 2) · (2 · 𝑥)))
2117, 20syl5eqr 2562 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (1 · 𝑥) = ((1 / 2) · (2 · 𝑥)))
2212, 21eqtr3d 2550 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 = ((1 / 2) · (2 · 𝑥)))
2311, 22syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥 = ((1 / 2) · (2 · 𝑥)))
24 hv2times 27090 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (2 · 𝑥) = (𝑥 + 𝑥))
2524oveq1d 6441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((2 · 𝑥) + 𝑥) = ((𝑥 + 𝑥) + 𝑥))
2611, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((2 · 𝑥) + 𝑥) = ((𝑥 + 𝑥) + 𝑥))
27 inss2 3699 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
2827sseli 3468 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥𝑌)
29 mayete3.y . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑌 = (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))
3029elin2 3666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑌 ↔ (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 𝐺)))
31 elin 3662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶 𝐷)))
32 mayete3.ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
33 mayete3.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐵C
342, 33pjdsi 27743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)) → 𝑥 = (((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)))
3532, 34mpan2 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑥 = (((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)))
36 mayete3.cd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
37 mayete3.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐷C
383, 37pjdsi 27743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (𝐶 𝐷) ∧ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)) → 𝑥 = (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)))
3936, 38mpan2 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝐶 𝐷) → 𝑥 = (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)))
4035, 39oveqan12d 6445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶 𝐷)) → (𝑥 + 𝑥) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)) + (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
4131, 40sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) → (𝑥 + 𝑥) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)) + (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
42 inss1 3698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)
4342sseli 3468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐴 𝐵))
442, 33chjcli 27488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 𝐵) ∈ C
4544cheli 27261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
462pjhcli 27449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ)
4733pjhcli 27449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ)
483pjhcli 27449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ)
4937pjhcli 27449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ)
50 hvadd4 27065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((proj𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ) ∧ (((proj𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ)) → ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)) + (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
5146, 47, 48, 49, 50syl22anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)) + (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
5243, 45, 513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) → ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐵)‘𝑥)) + (((proj𝐶)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
5341, 52eqtrd 2548 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) → (𝑥 + 𝑥) = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))))
54 mayete3.fg . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
55 mayete3.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐺C
565, 55pjdsi 27743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (𝐹 𝐺) ∧ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)) → 𝑥 = (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
5754, 56mpan2 702 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝐹 𝐺) → 𝑥 = (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
5853, 57oveqan12d 6445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 𝐺)) → ((𝑥 + 𝑥) + 𝑥) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
5930, 58sylbi 205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑌 → ((𝑥 + 𝑥) + 𝑥) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
6028, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((𝑥 + 𝑥) + 𝑥) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
61 hvaddcl 27041 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((proj𝐴)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐶)‘𝑥) ∈ ℋ) → (((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ)
6246, 48, 61syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ)
63 hvaddcl 27041 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((proj𝐵)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐷)‘𝑥) ∈ ℋ) → (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ)
6447, 49, 63syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ)
655pjhcli 27449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ)
6655pjhcli 27449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
67 hvadd4 27065 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ) ∧ (((proj𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)) → (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
6862, 64, 65, 66, 67syl22anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
6911, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥))) + (((proj𝐹)‘𝑥) + ((proj𝐺)‘𝑥))) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
7026, 60, 693eqtrd 2552 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((2 · 𝑥) + 𝑥) = (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))))
71 inss1 3698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
7271sseli 3468 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥𝑋)
7372, 8syl6eleq 2602 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥 ∈ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹))
74 mayete3.ac . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
75 mayete3.af . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
76 mayete3.cf . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
772, 3, 5pjds3i 27744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)) ∧ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹) ∧ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹))) → 𝑥 = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)))
7875, 76, 77mpanr12 716 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)) → 𝑥 = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)))
7973, 74, 78sylancl 692 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥 = ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)))
8070, 79oveq12d 6444 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → (((2 · 𝑥) + 𝑥) − 𝑥) = ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))) − ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥))))
81 hvmulcl 27042 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (2 · 𝑥) ∈ ℋ)
8213, 81mpan 701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (2 · 𝑥) ∈ ℋ)
83 hvpncan 27068 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((2 · 𝑥) + 𝑥) − 𝑥) = (2 · 𝑥))
8482, 83mpancom 699 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (((2 · 𝑥) + 𝑥) − 𝑥) = (2 · 𝑥))
8511, 84syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → (((2 · 𝑥) + 𝑥) − 𝑥) = (2 · 𝑥))
8680, 85eqtr3d 2550 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))) − ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥))) = (2 · 𝑥))
87 hvaddcl 27041 . . . . . . . . . . . 12 (((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐹)‘𝑥) ∈ ℋ) → ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ)
8862, 65, 87syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ)
89 hvaddcl 27041 . . . . . . . . . . . 12 (((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ) → ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ)
9064, 66, 89syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ)
91 hvpncan2 27069 . . . . . . . . . . 11 ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℋ) → ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))) − ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥))) = ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
9288, 90, 91syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))) − ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥))) = ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
9311, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥)) + ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥))) − ((((proj𝐴)‘𝑥) + ((proj𝐶)‘𝑥)) + ((proj𝐹)‘𝑥))) = ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
9486, 93eqtr3d 2550 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → (2 · 𝑥) = ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)))
9533pjcli 27448 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐵)
9637pjcli 27448 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐷)‘𝑥) ∈ 𝐷)
9733chshii 27256 . . . . . . . . . . . 12 𝐵S
9837chshii 27256 . . . . . . . . . . . 12 𝐷S
9997, 98shsvai 27395 . . . . . . . . . . 11 ((((proj𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ((proj𝐷)‘𝑥) ∈ 𝐷) → (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 + 𝐷))
10095, 96, 99syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 + 𝐷))
10155pjcli 27448 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐺)
10297, 98shscli 27348 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 + 𝐷) ∈ S
10355chshii 27256 . . . . . . . . . . 11 𝐺S
104102, 103shsvai 27395 . . . . . . . . . 10 (((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) ∈ (𝐵 + 𝐷) ∧ ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐺) → ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
105100, 101, 104syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
10611, 105syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((((proj𝐵)‘𝑥) + ((proj𝐷)‘𝑥)) + ((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
10794, 106eqeltrd 2592 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → (2 · 𝑥) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
108102, 103shscli 27348 . . . . . . . 8 ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺) ∈ S
109 shmulcl 27247 . . . . . . . 8 ((((𝐵 + 𝐷) + 𝐺) ∈ S ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺)) → ((1 / 2) · (2 · 𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
110108, 18, 109mp3an12 1405 . . . . . . 7 ((2 · 𝑥) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺) → ((1 / 2) · (2 · 𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
111107, 110syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → ((1 / 2) · (2 · 𝑥)) ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
11223, 111eqeltrd 2592 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑥 ∈ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺))
113112ssriv 3476 . . . 4 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺)
11433, 37chsleji 27489 . . . . 5 (𝐵 + 𝐷) ⊆ (𝐵 𝐷)
11533, 37chjcli 27488 . . . . . . 7 (𝐵 𝐷) ∈ C
116115chshii 27256 . . . . . 6 (𝐵 𝐷) ∈ S
117102, 116, 103shlessi 27408 . . . . 5 ((𝐵 + 𝐷) ⊆ (𝐵 𝐷) → ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺) ⊆ ((𝐵 𝐷) + 𝐺))
118114, 117ax-mp 5 . . . 4 ((𝐵 + 𝐷) + 𝐺) ⊆ ((𝐵 𝐷) + 𝐺)
119113, 118sstri 3481 . . 3 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝐵 𝐷) + 𝐺)
120115, 55chsleji 27489 . . 3 ((𝐵 𝐷) + 𝐺) ⊆ ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
121119, 120sstri 3481 . 2 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
122 mayete3.z . 2 𝑍 = ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
123121, 122sseqtr4i 3505 1 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑍
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  wne 2684  cin 3443  wss 3444  cfv 5689  (class class class)co 6426  cc 9689  0cc0 9691  1c1 9692   · cmul 9696   / cdiv 10433  2c2 10825  chil 26948   + cva 26949   · csm 26950   cmv 26954   S csh 26957   C cch 26958  cort 26959   + cph 26960   chj 26962  projcpjh 26966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-inf2 8297  ax-cc 9016  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769  ax-addf 9770  ax-mulf 9771  ax-hilex 27028  ax-hfvadd 27029  ax-hvcom 27030  ax-hvass 27031  ax-hv0cl 27032  ax-hvaddid 27033  ax-hfvmul 27034  ax-hvmulid 27035  ax-hvmulass 27036  ax-hvdistr1 27037  ax-hvdistr2 27038  ax-hvmul0 27039  ax-hfi 27108  ax-his1 27111  ax-his2 27112  ax-his3 27113  ax-his4 27114  ax-hcompl 27231
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-of 6671  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-supp 7058  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-2o 7324  df-oadd 7327  df-omul 7328  df-er 7505  df-map 7622  df-pm 7623  df-ixp 7671  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-fsupp 8035  df-fi 8076  df-sup 8107  df-inf 8108  df-oi 8174  df-card 8524  df-acn 8527  df-cda 8749  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-4 10836  df-5 10837  df-6 10838  df-7 10839  df-8 10840  df-9 10841  df-n0 11048  df-z 11119  df-dec 11234  df-uz 11428  df-q 11531  df-rp 11575  df-xneg 11688  df-xadd 11689  df-xmul 11690  df-ioo 11919  df-ico 11921  df-icc 11922  df-fz 12066  df-fzo 12203  df-fl 12323  df-seq 12532  df-exp 12591  df-hash 12848  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683  df-clim 13933  df-rlim 13934  df-sum 14134  df-struct 15581  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-ress 15586  df-plusg 15665  df-mulr 15666  df-starv 15667  df-sca 15668  df-vsca 15669  df-ip 15670  df-tset 15671  df-ple 15672  df-ds 15675  df-unif 15676  df-hom 15677  df-cco 15678  df-rest 15790  df-topn 15791  df-0g 15809  df-gsum 15810  df-topgen 15811  df-pt 15812  df-prds 15815  df-xrs 15869  df-qtop 15875  df-imas 15876  df-xps 15879  df-mre 15961  df-mrc 15962  df-acs 15964  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-submnd 17051  df-mulg 17256  df-cntz 17465  df-cmn 17926  df-psmet 19463  df-xmet 19464  df-met 19465  df-bl 19466  df-mopn 19467  df-fbas 19468  df-fg 19469  df-cnfld 19472  df-top 20424  df-bases 20425  df-topon 20426  df-topsp 20427  df-cld 20536  df-ntr 20537  df-cls 20538  df-nei 20615  df-cn 20744  df-cnp 20745  df-lm 20746  df-haus 20832  df-tx 21078  df-hmeo 21271  df-fil 21363  df-fm 21455  df-flim 21456  df-flf 21457  df-xms 21837  df-ms 21838  df-tms 21839  df-cfil 22725  df-cau 22726  df-cmet 22727  df-grpo 26469  df-gid 26470  df-ginv 26471  df-gdiv 26472  df-ablo 26524  df-vc 26539  df-nv 26587  df-va 26590  df-ba 26591  df-sm 26592  df-0v 26593  df-vs 26594  df-nmcv 26595  df-ims 26596  df-dip 26713  df-ssp 26737  df-ph 26830  df-cbn 26881  df-hnorm 26997  df-hba 26998  df-hvsub 27000  df-hlim 27001  df-hcau 27002  df-sh 27236  df-ch 27250  df-oc 27281  df-ch0 27282  df-shs 27339  df-chj 27341  df-pjh 27426
This theorem is referenced by:  mayetes3i  27760
  Copyright terms: Public domain W3C validator