HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mayetes3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mayetes3i 28716
Description: Mayet's equation E^*3, derived from E3. Solution, for n = 3, to open problem in Remark (b) after Theorem 7.1 of [Mayet3] p. 1240. (Contributed by NM, 10-May-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayetes3.a 𝐴C
mayetes3.b 𝐵C
mayetes3.c 𝐶C
mayetes3.d 𝐷C
mayetes3.f 𝐹C
mayetes3.g 𝐺C
mayetes3.r 𝑅C
mayetes3.ac 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
mayetes3.af 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayetes3.cf 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayetes3.ab 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
mayetes3.cd 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
mayetes3.fg 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
mayetes3.rx 𝑅 ⊆ (⊥‘𝑋)
mayetes3.x 𝑋 = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
mayetes3.y 𝑌 = (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))
mayetes3.z 𝑍 = ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
Assertion
Ref Expression
mayetes3i ((𝑋 𝑅) ∩ 𝑌) ⊆ (𝑍 𝑅)

Proof of Theorem mayetes3i
StepHypRef Expression
1 mayetes3.a . . . . . . . . 9 𝐴C
2 mayetes3.c . . . . . . . . 9 𝐶C
31, 2chjcli 28444 . . . . . . . 8 (𝐴 𝐶) ∈ C
4 mayetes3.f . . . . . . . 8 𝐹C
53, 4chjcli 28444 . . . . . . 7 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∈ C
6 mayetes3.r . . . . . . 7 𝑅C
75, 6chjcomi 28455 . . . . . 6 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) = (𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹))
87eqimssi 3692 . . . . 5 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ⊆ (𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹))
9 mayetes3.b . . . . . . . . . . 11 𝐵C
101, 9chjcli 28444 . . . . . . . . . 10 (𝐴 𝐵) ∈ C
1110, 6chub1i 28456 . . . . . . . . 9 (𝐴 𝐵) ⊆ ((𝐴 𝐵) ∨ 𝑅)
121, 9, 6chjassi 28473 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝐵) ∨ 𝑅) = (𝐴 (𝐵 𝑅))
1311, 12sseqtri 3670 . . . . . . . 8 (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 (𝐵 𝑅))
149, 6chjcli 28444 . . . . . . . . . 10 (𝐵 𝑅) ∈ C
151, 14chjcli 28444 . . . . . . . . 9 (𝐴 (𝐵 𝑅)) ∈ C
1615, 6chub2i 28457 . . . . . . . 8 (𝐴 (𝐵 𝑅)) ⊆ (𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅)))
1713, 16sstri 3645 . . . . . . 7 (𝐴 𝐵) ⊆ (𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅)))
18 mayetes3.d . . . . . . . . . . 11 𝐷C
192, 18chjcli 28444 . . . . . . . . . 10 (𝐶 𝐷) ∈ C
2019, 6chub1i 28456 . . . . . . . . 9 (𝐶 𝐷) ⊆ ((𝐶 𝐷) ∨ 𝑅)
212, 18, 6chjassi 28473 . . . . . . . . 9 ((𝐶 𝐷) ∨ 𝑅) = (𝐶 (𝐷 𝑅))
2220, 21sseqtri 3670 . . . . . . . 8 (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐶 (𝐷 𝑅))
2318, 6chjcli 28444 . . . . . . . . . 10 (𝐷 𝑅) ∈ C
242, 23chjcli 28444 . . . . . . . . 9 (𝐶 (𝐷 𝑅)) ∈ C
2524, 6chub2i 28457 . . . . . . . 8 (𝐶 (𝐷 𝑅)) ⊆ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))
2622, 25sstri 3645 . . . . . . 7 (𝐶 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))
27 ss2in 3873 . . . . . . 7 (((𝐴 𝐵) ⊆ (𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) → ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ⊆ ((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))))
2817, 26, 27mp2an 708 . . . . . 6 ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ⊆ ((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅))))
29 mayetes3.g . . . . . . . . . 10 𝐺C
304, 29chjcli 28444 . . . . . . . . 9 (𝐹 𝐺) ∈ C
3130, 6chub1i 28456 . . . . . . . 8 (𝐹 𝐺) ⊆ ((𝐹 𝐺) ∨ 𝑅)
324, 29, 6chjassi 28473 . . . . . . . 8 ((𝐹 𝐺) ∨ 𝑅) = (𝐹 (𝐺 𝑅))
3331, 32sseqtri 3670 . . . . . . 7 (𝐹 𝐺) ⊆ (𝐹 (𝐺 𝑅))
3429, 6chjcli 28444 . . . . . . . . 9 (𝐺 𝑅) ∈ C
354, 34chjcli 28444 . . . . . . . 8 (𝐹 (𝐺 𝑅)) ∈ C
3635, 6chub2i 28457 . . . . . . 7 (𝐹 (𝐺 𝑅)) ⊆ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))
3733, 36sstri 3645 . . . . . 6 (𝐹 𝐺) ⊆ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))
38 ss2in 3873 . . . . . 6 ((((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ⊆ ((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∧ (𝐹 𝐺) ⊆ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))) → (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺)) ⊆ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
3928, 37, 38mp2an 708 . . . . 5 (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺)) ⊆ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))
40 ss2in 3873 . . . . 5 (((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ⊆ (𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∧ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺)) ⊆ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))) → ((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ∩ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))) ⊆ ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))))
418, 39, 40mp2an 708 . . . 4 ((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ∩ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))) ⊆ ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
4215, 24chincli 28447 . . . . . . 7 ((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∈ C
4342, 35chincli 28447 . . . . . 6 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))) ∈ C
44 mayetes3.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
4544, 5eqeltri 2726 . . . . . . . . . 10 𝑋C
4645choccli 28294 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝑋) ∈ C
47 mayetes3.rx . . . . . . . . 9 𝑅 ⊆ (⊥‘𝑋)
486, 46, 47lecmii 28590 . . . . . . . 8 𝑅 𝐶 (⊥‘𝑋)
496, 45cmcm2i 28580 . . . . . . . 8 (𝑅 𝐶 𝑋𝑅 𝐶 (⊥‘𝑋))
5048, 49mpbir 221 . . . . . . 7 𝑅 𝐶 𝑋
5150, 44breqtri 4710 . . . . . 6 𝑅 𝐶 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
526, 9chub2i 28457 . . . . . . . . . 10 𝑅 ⊆ (𝐵 𝑅)
5314, 1chub2i 28457 . . . . . . . . . 10 (𝐵 𝑅) ⊆ (𝐴 (𝐵 𝑅))
5452, 53sstri 3645 . . . . . . . . 9 𝑅 ⊆ (𝐴 (𝐵 𝑅))
556, 15, 54lecmii 28590 . . . . . . . 8 𝑅 𝐶 (𝐴 (𝐵 𝑅))
566, 18chub2i 28457 . . . . . . . . . 10 𝑅 ⊆ (𝐷 𝑅)
5723, 2chub2i 28457 . . . . . . . . . 10 (𝐷 𝑅) ⊆ (𝐶 (𝐷 𝑅))
5856, 57sstri 3645 . . . . . . . . 9 𝑅 ⊆ (𝐶 (𝐷 𝑅))
596, 24, 58lecmii 28590 . . . . . . . 8 𝑅 𝐶 (𝐶 (𝐷 𝑅))
606, 15, 24, 55, 59cm2mi 28613 . . . . . . 7 𝑅 𝐶 ((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅)))
616, 29chub2i 28457 . . . . . . . . 9 𝑅 ⊆ (𝐺 𝑅)
6234, 4chub2i 28457 . . . . . . . . 9 (𝐺 𝑅) ⊆ (𝐹 (𝐺 𝑅))
6361, 62sstri 3645 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ (𝐹 (𝐺 𝑅))
646, 35, 63lecmii 28590 . . . . . . 7 𝑅 𝐶 (𝐹 (𝐺 𝑅))
656, 42, 35, 60, 64cm2mi 28613 . . . . . 6 𝑅 𝐶 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))
666, 5, 43, 51, 65fh3i 28610 . . . . 5 (𝑅 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))))) = ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (𝑅 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
676, 42, 35, 60, 64fh3i 28610 . . . . . . 7 (𝑅 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))) = ((𝑅 ((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))
686, 15, 24, 55, 59fh3i 28610 . . . . . . . 8 (𝑅 ((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅)))) = ((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅))))
6968ineq1i 3843 . . . . . . 7 ((𝑅 ((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))) = (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))
7067, 69eqtri 2673 . . . . . 6 (𝑅 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))) = (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))
7170ineq2i 3844 . . . . 5 ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (𝑅 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))))) = ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
7266, 71eqtr2i 2674 . . . 4 ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))) = (𝑅 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
7341, 72sseqtri 3670 . . 3 ((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ∩ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))) ⊆ (𝑅 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
749, 18chjcli 28444 . . . . . 6 (𝐵 𝐷) ∈ C
7574, 29chjcli 28444 . . . . 5 ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∈ C
766, 75chub2i 28457 . . . 4 𝑅 ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)
77 mayetes3.ac . . . . 5 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
78 mayetes3.af . . . . 5 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
79 mayetes3.cf . . . . 5 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
80 mayetes3.ab . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
811, 2chub1i 28456 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐶)
823, 4chub1i 28456 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 𝐶) ⊆ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
8382, 44sseqtr4i 3671 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 𝐶) ⊆ 𝑋
8481, 83sstri 3645 . . . . . . . . . 10 𝐴𝑋
851, 45chsscon3i 28448 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐴))
8684, 85mpbi 220 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐴)
8747, 86sstri 3645 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐴)
886, 1chsscon2i 28450 . . . . . . . 8 (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝑅))
8987, 88mpbi 220 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (⊥‘𝑅)
9080, 89ssini 3869 . . . . . 6 𝐴 ⊆ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝑅))
919, 6chdmj1i 28468 . . . . . 6 (⊥‘(𝐵 𝑅)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝑅))
9290, 91sseqtr4i 3671 . . . . 5 𝐴 ⊆ (⊥‘(𝐵 𝑅))
93 mayetes3.cd . . . . . . 7 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
942, 1chub2i 28457 . . . . . . . . . . 11 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐶)
9594, 83sstri 3645 . . . . . . . . . 10 𝐶𝑋
962, 45chsscon3i 28448 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐶))
9795, 96mpbi 220 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐶)
9847, 97sstri 3645 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐶)
996, 2chsscon2i 28450 . . . . . . . 8 (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐶) ↔ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝑅))
10098, 99mpbi 220 . . . . . . 7 𝐶 ⊆ (⊥‘𝑅)
10193, 100ssini 3869 . . . . . 6 𝐶 ⊆ ((⊥‘𝐷) ∩ (⊥‘𝑅))
10218, 6chdmj1i 28468 . . . . . 6 (⊥‘(𝐷 𝑅)) = ((⊥‘𝐷) ∩ (⊥‘𝑅))
103101, 102sseqtr4i 3671 . . . . 5 𝐶 ⊆ (⊥‘(𝐷 𝑅))
104 mayetes3.fg . . . . . . 7 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
1054, 3chub2i 28457 . . . . . . . . . . 11 𝐹 ⊆ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
106105, 44sseqtr4i 3671 . . . . . . . . . 10 𝐹𝑋
1074, 45chsscon3i 28448 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐹))
108106, 107mpbi 220 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐹)
10947, 108sstri 3645 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐹)
1106, 4chsscon2i 28450 . . . . . . . 8 (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐹) ↔ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝑅))
111109, 110mpbi 220 . . . . . . 7 𝐹 ⊆ (⊥‘𝑅)
112104, 111ssini 3869 . . . . . 6 𝐹 ⊆ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝑅))
11329, 6chdmj1i 28468 . . . . . 6 (⊥‘(𝐺 𝑅)) = ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝑅))
114112, 113sseqtr4i 3671 . . . . 5 𝐹 ⊆ (⊥‘(𝐺 𝑅))
115 eqid 2651 . . . . 5 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
116 eqid 2651 . . . . 5 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))) = (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))
11774, 29, 6chjjdiri 28511 . . . . . 6 (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅) = (((𝐵 𝐷) ∨ 𝑅) ∨ (𝐺 𝑅))
1189, 18, 6chjjdiri 28511 . . . . . . 7 ((𝐵 𝐷) ∨ 𝑅) = ((𝐵 𝑅) ∨ (𝐷 𝑅))
119118oveq1i 6700 . . . . . 6 (((𝐵 𝐷) ∨ 𝑅) ∨ (𝐺 𝑅)) = (((𝐵 𝑅) ∨ (𝐷 𝑅)) ∨ (𝐺 𝑅))
120117, 119eqtri 2673 . . . . 5 (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅) = (((𝐵 𝑅) ∨ (𝐷 𝑅)) ∨ (𝐺 𝑅))
1211, 14, 2, 23, 4, 34, 77, 78, 79, 92, 103, 114, 115, 116, 120mayete3i 28715 . . . 4 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))) ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)
1225, 43chincli 28447 . . . . 5 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))) ∈ C
12375, 6chjcli 28444 . . . . 5 (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅) ∈ C
1246, 122, 123chlubii 28459 . . . 4 ((𝑅 ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅) ∧ (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))) ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)) → (𝑅 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))))) ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅))
12576, 121, 124mp2an 708 . . 3 (𝑅 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))))) ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)
12673, 125sstri 3645 . 2 ((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ∩ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))) ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)
12744oveq1i 6700 . . 3 (𝑋 𝑅) = (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅)
128 mayetes3.y . . 3 𝑌 = (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))
129127, 128ineq12i 3845 . 2 ((𝑋 𝑅) ∩ 𝑌) = ((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ∩ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺)))
130 mayetes3.z . . 3 𝑍 = ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
131130oveq1i 6700 . 2 (𝑍 𝑅) = (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)
132126, 129, 1313sstr4i 3677 1 ((𝑋 𝑅) ∩ 𝑌) ⊆ (𝑍 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  cin 3606  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690   C cch 27914  cort 27915   chj 27918   𝐶 ccm 27921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070  ax-hcompl 28187
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-lm 21081  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-dip 27684  df-ssp 27705  df-ph 27796  df-cbn 27847  df-hnorm 27953  df-hba 27954  df-hvsub 27956  df-hlim 27957  df-hcau 27958  df-sh 28192  df-ch 28206  df-oc 28237  df-ch0 28238  df-shs 28295  df-chj 28297  df-pjh 28382  df-cm 28570
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator