HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mayetes3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mayetes3i 29433
Description: Mayet's equation E^*3, derived from E3. Solution, for n = 3, to open problem in Remark (b) after Theorem 7.1 of [Mayet3] p. 1240. (Contributed by NM, 10-May-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayetes3.a 𝐴C
mayetes3.b 𝐵C
mayetes3.c 𝐶C
mayetes3.d 𝐷C
mayetes3.f 𝐹C
mayetes3.g 𝐺C
mayetes3.r 𝑅C
mayetes3.ac 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
mayetes3.af 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayetes3.cf 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayetes3.ab 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
mayetes3.cd 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
mayetes3.fg 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
mayetes3.rx 𝑅 ⊆ (⊥‘𝑋)
mayetes3.x 𝑋 = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
mayetes3.y 𝑌 = (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))
mayetes3.z 𝑍 = ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
Assertion
Ref Expression
mayetes3i ((𝑋 𝑅) ∩ 𝑌) ⊆ (𝑍 𝑅)

Proof of Theorem mayetes3i
StepHypRef Expression
1 mayetes3.a . . . . . . . . 9 𝐴C
2 mayetes3.c . . . . . . . . 9 𝐶C
31, 2chjcli 29161 . . . . . . . 8 (𝐴 𝐶) ∈ C
4 mayetes3.f . . . . . . . 8 𝐹C
53, 4chjcli 29161 . . . . . . 7 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∈ C
6 mayetes3.r . . . . . . 7 𝑅C
75, 6chjcomi 29172 . . . . . 6 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) = (𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹))
87eqimssi 4022 . . . . 5 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ⊆ (𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹))
9 mayetes3.b . . . . . . . . . . 11 𝐵C
101, 9chjcli 29161 . . . . . . . . . 10 (𝐴 𝐵) ∈ C
1110, 6chub1i 29173 . . . . . . . . 9 (𝐴 𝐵) ⊆ ((𝐴 𝐵) ∨ 𝑅)
121, 9, 6chjassi 29190 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝐵) ∨ 𝑅) = (𝐴 (𝐵 𝑅))
1311, 12sseqtri 4000 . . . . . . . 8 (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 (𝐵 𝑅))
149, 6chjcli 29161 . . . . . . . . . 10 (𝐵 𝑅) ∈ C
151, 14chjcli 29161 . . . . . . . . 9 (𝐴 (𝐵 𝑅)) ∈ C
1615, 6chub2i 29174 . . . . . . . 8 (𝐴 (𝐵 𝑅)) ⊆ (𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅)))
1713, 16sstri 3973 . . . . . . 7 (𝐴 𝐵) ⊆ (𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅)))
18 mayetes3.d . . . . . . . . . . 11 𝐷C
192, 18chjcli 29161 . . . . . . . . . 10 (𝐶 𝐷) ∈ C
2019, 6chub1i 29173 . . . . . . . . 9 (𝐶 𝐷) ⊆ ((𝐶 𝐷) ∨ 𝑅)
212, 18, 6chjassi 29190 . . . . . . . . 9 ((𝐶 𝐷) ∨ 𝑅) = (𝐶 (𝐷 𝑅))
2220, 21sseqtri 4000 . . . . . . . 8 (𝐶 𝐷) ⊆ (𝐶 (𝐷 𝑅))
2318, 6chjcli 29161 . . . . . . . . . 10 (𝐷 𝑅) ∈ C
242, 23chjcli 29161 . . . . . . . . 9 (𝐶 (𝐷 𝑅)) ∈ C
2524, 6chub2i 29174 . . . . . . . 8 (𝐶 (𝐷 𝑅)) ⊆ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))
2622, 25sstri 3973 . . . . . . 7 (𝐶 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))
27 ss2in 4210 . . . . . . 7 (((𝐴 𝐵) ⊆ (𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∧ (𝐶 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) → ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ⊆ ((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))))
2817, 26, 27mp2an 688 . . . . . 6 ((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ⊆ ((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅))))
29 mayetes3.g . . . . . . . . . 10 𝐺C
304, 29chjcli 29161 . . . . . . . . 9 (𝐹 𝐺) ∈ C
3130, 6chub1i 29173 . . . . . . . 8 (𝐹 𝐺) ⊆ ((𝐹 𝐺) ∨ 𝑅)
324, 29, 6chjassi 29190 . . . . . . . 8 ((𝐹 𝐺) ∨ 𝑅) = (𝐹 (𝐺 𝑅))
3331, 32sseqtri 4000 . . . . . . 7 (𝐹 𝐺) ⊆ (𝐹 (𝐺 𝑅))
3429, 6chjcli 29161 . . . . . . . . 9 (𝐺 𝑅) ∈ C
354, 34chjcli 29161 . . . . . . . 8 (𝐹 (𝐺 𝑅)) ∈ C
3635, 6chub2i 29174 . . . . . . 7 (𝐹 (𝐺 𝑅)) ⊆ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))
3733, 36sstri 3973 . . . . . 6 (𝐹 𝐺) ⊆ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))
38 ss2in 4210 . . . . . 6 ((((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ⊆ ((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∧ (𝐹 𝐺) ⊆ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))) → (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺)) ⊆ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
3928, 37, 38mp2an 688 . . . . 5 (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺)) ⊆ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))
40 ss2in 4210 . . . . 5 (((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ⊆ (𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∧ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺)) ⊆ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))) → ((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ∩ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))) ⊆ ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))))
418, 39, 40mp2an 688 . . . 4 ((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ∩ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))) ⊆ ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
4215, 24chincli 29164 . . . . . . 7 ((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∈ C
4342, 35chincli 29164 . . . . . 6 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))) ∈ C
44 mayetes3.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
4544, 5eqeltri 2906 . . . . . . . . . 10 𝑋C
4645choccli 29011 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝑋) ∈ C
47 mayetes3.rx . . . . . . . . 9 𝑅 ⊆ (⊥‘𝑋)
486, 46, 47lecmii 29307 . . . . . . . 8 𝑅 𝐶 (⊥‘𝑋)
496, 45cmcm2i 29297 . . . . . . . 8 (𝑅 𝐶 𝑋𝑅 𝐶 (⊥‘𝑋))
5048, 49mpbir 232 . . . . . . 7 𝑅 𝐶 𝑋
5150, 44breqtri 5082 . . . . . 6 𝑅 𝐶 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
526, 9chub2i 29174 . . . . . . . . . 10 𝑅 ⊆ (𝐵 𝑅)
5314, 1chub2i 29174 . . . . . . . . . 10 (𝐵 𝑅) ⊆ (𝐴 (𝐵 𝑅))
5452, 53sstri 3973 . . . . . . . . 9 𝑅 ⊆ (𝐴 (𝐵 𝑅))
556, 15, 54lecmii 29307 . . . . . . . 8 𝑅 𝐶 (𝐴 (𝐵 𝑅))
566, 18chub2i 29174 . . . . . . . . . 10 𝑅 ⊆ (𝐷 𝑅)
5723, 2chub2i 29174 . . . . . . . . . 10 (𝐷 𝑅) ⊆ (𝐶 (𝐷 𝑅))
5856, 57sstri 3973 . . . . . . . . 9 𝑅 ⊆ (𝐶 (𝐷 𝑅))
596, 24, 58lecmii 29307 . . . . . . . 8 𝑅 𝐶 (𝐶 (𝐷 𝑅))
606, 15, 24, 55, 59cm2mi 29330 . . . . . . 7 𝑅 𝐶 ((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅)))
616, 29chub2i 29174 . . . . . . . . 9 𝑅 ⊆ (𝐺 𝑅)
6234, 4chub2i 29174 . . . . . . . . 9 (𝐺 𝑅) ⊆ (𝐹 (𝐺 𝑅))
6361, 62sstri 3973 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ (𝐹 (𝐺 𝑅))
646, 35, 63lecmii 29307 . . . . . . 7 𝑅 𝐶 (𝐹 (𝐺 𝑅))
656, 42, 35, 60, 64cm2mi 29330 . . . . . 6 𝑅 𝐶 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))
666, 5, 43, 51, 65fh3i 29327 . . . . 5 (𝑅 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))))) = ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (𝑅 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
676, 42, 35, 60, 64fh3i 29327 . . . . . . 7 (𝑅 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))) = ((𝑅 ((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))
686, 15, 24, 55, 59fh3i 29327 . . . . . . . 8 (𝑅 ((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅)))) = ((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅))))
6968ineq1i 4182 . . . . . . 7 ((𝑅 ((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))) = (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))
7067, 69eqtri 2841 . . . . . 6 (𝑅 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))) = (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))
7170ineq2i 4183 . . . . 5 ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (𝑅 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))))) = ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
7266, 71eqtr2i 2842 . . . 4 ((𝑅 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)) ∩ (((𝑅 (𝐴 (𝐵 𝑅))) ∩ (𝑅 (𝐶 (𝐷 𝑅)))) ∩ (𝑅 (𝐹 (𝐺 𝑅))))) = (𝑅 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
7341, 72sseqtri 4000 . . 3 ((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ∩ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))) ⊆ (𝑅 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))))
749, 18chjcli 29161 . . . . . 6 (𝐵 𝐷) ∈ C
7574, 29chjcli 29161 . . . . 5 ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∈ C
766, 75chub2i 29174 . . . 4 𝑅 ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)
77 mayetes3.ac . . . . 5 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
78 mayetes3.af . . . . 5 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
79 mayetes3.cf . . . . 5 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
80 mayetes3.ab . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
811, 2chub1i 29173 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ⊆ (𝐴 𝐶)
823, 4chub1i 29173 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 𝐶) ⊆ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
8382, 44sseqtrri 4001 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 𝐶) ⊆ 𝑋
8481, 83sstri 3973 . . . . . . . . . 10 𝐴𝑋
851, 45chsscon3i 29165 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐴))
8684, 85mpbi 231 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐴)
8747, 86sstri 3973 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐴)
886, 1chsscon2i 29167 . . . . . . . 8 (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝑅))
8987, 88mpbi 231 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (⊥‘𝑅)
9080, 89ssini 4205 . . . . . 6 𝐴 ⊆ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝑅))
919, 6chdmj1i 29185 . . . . . 6 (⊥‘(𝐵 𝑅)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝑅))
9290, 91sseqtrri 4001 . . . . 5 𝐴 ⊆ (⊥‘(𝐵 𝑅))
93 mayetes3.cd . . . . . . 7 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
942, 1chub2i 29174 . . . . . . . . . . 11 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐶)
9594, 83sstri 3973 . . . . . . . . . 10 𝐶𝑋
962, 45chsscon3i 29165 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐶))
9795, 96mpbi 231 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐶)
9847, 97sstri 3973 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐶)
996, 2chsscon2i 29167 . . . . . . . 8 (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐶) ↔ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝑅))
10098, 99mpbi 231 . . . . . . 7 𝐶 ⊆ (⊥‘𝑅)
10193, 100ssini 4205 . . . . . 6 𝐶 ⊆ ((⊥‘𝐷) ∩ (⊥‘𝑅))
10218, 6chdmj1i 29185 . . . . . 6 (⊥‘(𝐷 𝑅)) = ((⊥‘𝐷) ∩ (⊥‘𝑅))
103101, 102sseqtrri 4001 . . . . 5 𝐶 ⊆ (⊥‘(𝐷 𝑅))
104 mayetes3.fg . . . . . . 7 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
1054, 3chub2i 29174 . . . . . . . . . . 11 𝐹 ⊆ ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
106105, 44sseqtrri 4001 . . . . . . . . . 10 𝐹𝑋
1074, 45chsscon3i 29165 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐹))
108106, 107mpbi 231 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐹)
10947, 108sstri 3973 . . . . . . . 8 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐹)
1106, 4chsscon2i 29167 . . . . . . . 8 (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐹) ↔ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝑅))
111109, 110mpbi 231 . . . . . . 7 𝐹 ⊆ (⊥‘𝑅)
112104, 111ssini 4205 . . . . . 6 𝐹 ⊆ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝑅))
11329, 6chdmj1i 29185 . . . . . 6 (⊥‘(𝐺 𝑅)) = ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝑅))
114112, 113sseqtrri 4001 . . . . 5 𝐹 ⊆ (⊥‘(𝐺 𝑅))
115 eqid 2818 . . . . 5 ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) = ((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹)
116 eqid 2818 . . . . 5 (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))) = (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))
11774, 29, 6chjjdiri 29228 . . . . . 6 (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅) = (((𝐵 𝐷) ∨ 𝑅) ∨ (𝐺 𝑅))
1189, 18, 6chjjdiri 29228 . . . . . . 7 ((𝐵 𝐷) ∨ 𝑅) = ((𝐵 𝑅) ∨ (𝐷 𝑅))
119118oveq1i 7155 . . . . . 6 (((𝐵 𝐷) ∨ 𝑅) ∨ (𝐺 𝑅)) = (((𝐵 𝑅) ∨ (𝐷 𝑅)) ∨ (𝐺 𝑅))
120117, 119eqtri 2841 . . . . 5 (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅) = (((𝐵 𝑅) ∨ (𝐷 𝑅)) ∨ (𝐺 𝑅))
1211, 14, 2, 23, 4, 34, 77, 78, 79, 92, 103, 114, 115, 116, 120mayete3i 29432 . . . 4 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))) ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)
1225, 43chincli 29164 . . . . 5 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))) ∈ C
12375, 6chjcli 29161 . . . . 5 (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅) ∈ C
1246, 122, 123chlubii 29176 . . . 4 ((𝑅 ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅) ∧ (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅)))) ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)) → (𝑅 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))))) ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅))
12576, 121, 124mp2an 688 . . 3 (𝑅 (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∩ (((𝐴 (𝐵 𝑅)) ∩ (𝐶 (𝐷 𝑅))) ∩ (𝐹 (𝐺 𝑅))))) ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)
12673, 125sstri 3973 . 2 ((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ∩ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))) ⊆ (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)
12744oveq1i 7155 . . 3 (𝑋 𝑅) = (((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅)
128 mayetes3.y . . 3 𝑌 = (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺))
129127, 128ineq12i 4184 . 2 ((𝑋 𝑅) ∩ 𝑌) = ((((𝐴 𝐶) ∨ 𝐹) ∨ 𝑅) ∩ (((𝐴 𝐵) ∩ (𝐶 𝐷)) ∩ (𝐹 𝐺)))
130 mayetes3.z . . 3 𝑍 = ((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺)
131130oveq1i 7155 . 2 (𝑍 𝑅) = (((𝐵 𝐷) ∨ 𝐺) ∨ 𝑅)
132126, 129, 1313sstr4i 4007 1 ((𝑋 𝑅) ∩ 𝑌) ⊆ (𝑍 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  cin 3932  wss 3933   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145   C cch 28633  cort 28634   chj 28637   𝐶 ccm 28640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605  ax-hilex 28703  ax-hfvadd 28704  ax-hvcom 28705  ax-hvass 28706  ax-hv0cl 28707  ax-hvaddid 28708  ax-hfvmul 28709  ax-hvmulid 28710  ax-hvmulass 28711  ax-hvdistr1 28712  ax-hvdistr2 28713  ax-hvmul0 28714  ax-hfi 28783  ax-his1 28786  ax-his2 28787  ax-his3 28788  ax-his4 28789  ax-hcompl 28906
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-lm 21765  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cfil 23785  df-cau 23786  df-cmet 23787  df-grpo 28197  df-gid 28198  df-ginv 28199  df-gdiv 28200  df-ablo 28249  df-vc 28263  df-nv 28296  df-va 28299  df-ba 28300  df-sm 28301  df-0v 28302  df-vs 28303  df-nmcv 28304  df-ims 28305  df-dip 28405  df-ssp 28426  df-ph 28517  df-cbn 28567  df-hnorm 28672  df-hba 28673  df-hvsub 28675  df-hlim 28676  df-hcau 28677  df-sh 28911  df-ch 28925  df-oc 28956  df-ch0 28957  df-shs 29012  df-chj 29014  df-pjh 29099  df-cm 29287
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator