MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfdm 23586
Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfdm (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfdm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 14043 . . . 4 ℜ:ℂ⟶ℝ
2 mbff 23585 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3 fco 6211 . . . 4 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
41, 2, 3sylancr 698 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
5 fimacnv 6502 . . 3 ((ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) = dom 𝐹)
64, 5syl 17 . 2 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) = dom 𝐹)
7 ioomax 12433 . . . 4 (-∞(,)+∞) = ℝ
8 ioof 12456 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
9 ffn 6198 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
11 mnfxr 10280 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
12 pnfxr 10276 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
13 fnovrn 6966 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
1410, 11, 12, 13mp3an 1565 . . . 4 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
157, 14eqeltrri 2828 . . 3 ℝ ∈ ran (,)
16 ismbf1 23584 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
1716simprbi 483 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
18 simpl 474 . . . . 5 ((((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
1918ralimi 3082 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) → ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
2017, 19syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
21 imaeq2 5612 . . . . 5 (𝑥 = ℝ → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) = ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ))
2221eleq1d 2816 . . . 4 (𝑥 = ℝ → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol))
2322rspcv 3437 . . 3 (ℝ ∈ ran (,) → (∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol → ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol))
2415, 20, 23mpsyl 68 . 2 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol)
256, 24eqeltrrd 2832 1 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  𝒫 cpw 4294   × cxp 5256  ccnv 5257  dom cdm 5258  ran crn 5259  cima 5261  ccom 5262   Fn wfn 6036  wf 6037  (class class class)co 6805  pm cpm 8016  cc 10118  cr 10119  +∞cpnf 10255  -∞cmnf 10256  *cxr 10257  (,)cioo 12360  cre 14028  cim 14029  volcvol 23424  MblFncmbf 23574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-er 7903  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-2 11263  df-ioo 12364  df-cj 14030  df-re 14031  df-mbf 23579
This theorem is referenced by:  ismbf  23588  ismbfcn  23589  mbfimaicc  23591  mbfdm2  23596  mbfres  23602  mbfmulc2lem  23605  mbfimaopn2  23615  cncombf  23616  mbfaddlem  23618  mbfadd  23619  mbfsub  23620  mbfmullem2  23682  mbfmul  23684  bddmulibl  23796  bddibl  23797  itgulm  24353  bddiblnc  33785  ftc1anclem1  33790  ftc1anclem5  33794  ftc1anclem8  33797  smfmbfcex  41466
  Copyright terms: Public domain W3C validator