MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfdm 23301
Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfdm (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfdm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 13786 . . . 4 ℜ:ℂ⟶ℝ
2 mbff 23300 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3 fco 6015 . . . 4 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
41, 2, 3sylancr 694 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
5 fimacnv 6303 . . 3 ((ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) = dom 𝐹)
64, 5syl 17 . 2 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) = dom 𝐹)
7 ioomax 12190 . . . 4 (-∞(,)+∞) = ℝ
8 ioof 12213 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
9 ffn 6002 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
11 mnfxr 10040 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
12 pnfxr 10036 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
13 fnovrn 6762 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
1410, 11, 12, 13mp3an 1421 . . . 4 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
157, 14eqeltrri 2695 . . 3 ℝ ∈ ran (,)
16 ismbf1 23299 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
1716simprbi 480 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
18 simpl 473 . . . . 5 ((((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
1918ralimi 2947 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) → ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
2017, 19syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
21 imaeq2 5421 . . . . 5 (𝑥 = ℝ → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) = ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ))
2221eleq1d 2683 . . . 4 (𝑥 = ℝ → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol))
2322rspcv 3291 . . 3 (ℝ ∈ ran (,) → (∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol → ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol))
2415, 20, 23mpsyl 68 . 2 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) “ ℝ) ∈ dom vol)
256, 24eqeltrrd 2699 1 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  𝒫 cpw 4130   × cxp 5072  ccnv 5073  dom cdm 5074  ran crn 5075  cima 5077  ccom 5078   Fn wfn 5842  wf 5843  (class class class)co 6604  pm cpm 7803  cc 9878  cr 9879  +∞cpnf 10015  -∞cmnf 10016  *cxr 10017  (,)cioo 12117  cre 13771  cim 13772  volcvol 23139  MblFncmbf 23289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-2 11023  df-ioo 12121  df-cj 13773  df-re 13774  df-mbf 23294
This theorem is referenced by:  ismbf  23303  ismbfcn  23304  mbfimaicc  23306  mbfdm2  23311  mbfres  23317  mbfmulc2lem  23320  mbfimaopn2  23330  cncombf  23331  mbfaddlem  23333  mbfadd  23334  mbfsub  23335  mbfmullem2  23397  mbfmul  23399  bddmulibl  23511  bddibl  23512  itgulm  24066  bddiblnc  33109  ftc1anclem1  33114  ftc1anclem5  33118  ftc1anclem8  33121  smfmbfcex  40272
  Copyright terms: Public domain W3C validator