MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfdm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfdm2 23493
Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmptcl.1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbfmptcl.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
mbfdm2 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfdm2
StepHypRef Expression
1 mbfmptcl.2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
21ralrimiva 3036 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
3 dmmptg 5713 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
42, 3syl 17 . 2 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
5 mbfmptcl.1 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
6 mbfdm 23483 . . 3 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ dom vol)
75, 6syl 17 . 2 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ dom vol)
84, 7eqeltrrd 2772 1 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1564  wcel 2071  wral 2982  cmpt 4805  dom cdm 5186  volcvol 23321  MblFncmbf 23471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rmo 2990  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-op 4260  df-uni 4513  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-id 5096  df-po 5107  df-so 5108  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-er 7830  df-pm 7945  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-div 10766  df-2 11160  df-ioo 12261  df-cj 13927  df-re 13928  df-mbf 23476
This theorem is referenced by:  mbfss  23501  mbfpos  23506  mbfposr  23507  mbfmulc2  23518  mbfi1flim  23578  itgge0  23665  itgss3  23669  itgless  23671  ibladdlem  23674  ibladd  23675  itgaddlem1  23677  iblabslem  23682  itgsplit  23690  bddmulibl  23693  itggt0  23696  itgcn  23697  ibladdnclem  33666  itgaddnclem1  33668  iblabsnclem  33673  itgmulc2nclem2  33677  itgmulc2nc  33678  itgabsnc  33679  iblsplit  40570
  Copyright terms: Public domain W3C validator