Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfeqalem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfeqalem 23608
 Description: Lemma for mbfeqa 23609. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfeqa.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
mbfeqa.2 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
mbfeqa.3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
mbfeqalem.4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfeqalem (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐵𝐷) ∈ MblFn))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem mbfeqalem
Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inundif 4190 . . . . 5 ((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) = ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)
2 incom 3948 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))
3 dfin4 4010 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)))
42, 3eqtri 2782 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)))
5 id 22 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol → ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol)
6 symdif2 3995 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) = {𝑧 ∣ ¬ (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))}
7 eldif 3725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑧𝐴))
8 mbfeqa.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
9 eldifi 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) → 𝑥𝐵)
109adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑥𝐵)
11 mbfeqalem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
129, 11sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
13 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥𝐵𝐶) = (𝑥𝐵𝐶)
1413fvmpt2 6453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥𝐵𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
1510, 12, 14syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
16 mbfeqalem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
179, 16sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐷 ∈ ℝ)
18 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥𝐵𝐷) = (𝑥𝐵𝐷)
1918fvmpt2 6453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥𝐵𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) = 𝐷)
2010, 17, 19syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) = 𝐷)
218, 15, 203eqtr4d 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥))
2221ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵𝐴)((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥))
23 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥)
24 nffvmpt1 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧)
25 nffvmpt1 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧)
2624, 25nfeq 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧)
27 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧))
28 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧))
2927, 28eqeq12d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) ↔ ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧)))
3023, 26, 29cbvral 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑥 ∈ (𝐵𝐴)((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐵𝐴)((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧))
3122, 30sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐵𝐴)((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧))
3231r19.21bi 3070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵𝐴)) → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧))
3332eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵𝐴)) → (((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
347, 33sylan2br 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑧𝐴)) → (((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
3534anass1rs 884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
3635pm5.32da 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → ((𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
3711, 13fmptd 6548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶ℝ)
38 ffn 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶ℝ → (𝑥𝐵𝐶) Fn 𝐵)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) Fn 𝐵)
4039adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑥𝐵𝐶) Fn 𝐵)
41 elpreima 6500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐵𝐶) Fn 𝐵 → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
4316, 18fmptd 6548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐷):𝐵⟶ℝ)
44 ffn 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐵𝐷):𝐵⟶ℝ → (𝑥𝐵𝐷) Fn 𝐵)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐷) Fn 𝐵)
4645adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑥𝐵𝐷) Fn 𝐵)
47 elpreima 6500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐵𝐷) Fn 𝐵 → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
4936, 42, 483bitr4d 300 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)))
5049ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (¬ 𝑧𝐴 → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))))
5150con1d 139 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (¬ (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) → 𝑧𝐴))
5251abssdv 3817 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑧 ∣ ¬ (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))} ⊆ 𝐴)
536, 52syl5eqss 3790 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ⊆ 𝐴)
5453unssad 3933 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴)
55 mbfeqa.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
5654, 55sstrd 3754 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ ℝ)
57 mbfeqa.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
58 ovolssnul 23455 . . . . . . . . . 10 (((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) = 0)
5954, 55, 57, 58syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (vol*‘(((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) = 0)
60 nulmbl 23503 . . . . . . . . 9 (((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) = 0) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
6156, 59, 60syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
62 difmbl 23511 . . . . . . . 8 ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
635, 61, 62syl2anr 496 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
644, 63syl5eqel 2843 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
6553unssbd 3934 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴)
6665, 55sstrd 3754 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ⊆ ℝ)
67 ovolssnul 23455 . . . . . . . . 9 (((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) = 0)
6865, 55, 57, 67syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol*‘(((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) = 0)
69 nulmbl 23503 . . . . . . . 8 (((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) = 0) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
7066, 68, 69syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
7170adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
72 unmbl 23505 . . . . . 6 (((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → ((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
7364, 71, 72syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
741, 73syl5eqelr 2844 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol)
75 inundif 4190 . . . . 5 ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) = ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)
76 incom 3948 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))
77 dfin4 4010 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)))
7876, 77eqtri 2782 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)))
79 id 22 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol → ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol)
80 difmbl 23511 . . . . . . . 8 ((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
8179, 70, 80syl2anr 496 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
8278, 81syl5eqel 2843 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
8361adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
84 unmbl 23505 . . . . . 6 (((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
8582, 83, 84syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
8675, 85syl5eqelr 2844 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol)
8774, 86impbida 913 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ↔ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
8887ralbidv 3124 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
89 ismbf 23596 . . 3 ((𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶ℝ → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol))
9037, 89syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol))
91 ismbf 23596 . . 3 ((𝑥𝐵𝐷):𝐵⟶ℝ → ((𝑥𝐵𝐷) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
9243, 91syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐷) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
9388, 90, 923bitr4d 300 1 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐵𝐷) ∈ MblFn))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {cab 2746  ∀wral 3050   ∖ cdif 3712   ∪ cun 3713   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715   ↦ cmpt 4881  ◡ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267   “ cima 5269   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  ℝcr 10127  0cc0 10128  (,)cioo 12368  vol*covol 23431  volcvol 23432  MblFncmbf 23582 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xadd 12140  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-xmet 19941  df-met 19942  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-mbf 23587 This theorem is referenced by:  mbfeqa  23609
 Copyright terms: Public domain W3C validator