MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfeqalem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfeqalem 23315
Description: Lemma for mbfeqa 23316. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfeqa.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
mbfeqa.2 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
mbfeqa.3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
mbfeqalem.4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfeqalem (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐵𝐷) ∈ MblFn))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem mbfeqalem
Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inundif 4018 . . . . 5 ((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) = ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)
2 incom 3783 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))
3 dfin4 3843 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)))
42, 3eqtri 2643 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)))
5 id 22 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol → ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol)
6 symdif2 3830 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) = {𝑧 ∣ ¬ (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))}
7 eldif 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑧𝐴))
8 mbfeqa.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
9 eldifi 3710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) → 𝑥𝐵)
109adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑥𝐵)
11 mbfeqalem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
129, 11sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
13 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥𝐵𝐶) = (𝑥𝐵𝐶)
1413fvmpt2 6248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥𝐵𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
1510, 12, 14syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
16 mbfeqalem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
179, 16sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐷 ∈ ℝ)
18 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥𝐵𝐷) = (𝑥𝐵𝐷)
1918fvmpt2 6248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥𝐵𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) = 𝐷)
2010, 17, 19syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) = 𝐷)
218, 15, 203eqtr4d 2665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥))
2221ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵𝐴)((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥))
23 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥)
24 nffvmpt1 6156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧)
25 nffvmpt1 6156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧)
2624, 25nfeq 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧)
27 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧))
28 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧))
2927, 28eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) ↔ ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧)))
3023, 26, 29cbvral 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑥 ∈ (𝐵𝐴)((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐵𝐴)((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧))
3122, 30sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐵𝐴)((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧))
3231r19.21bi 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵𝐴)) → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧))
3332eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵𝐴)) → (((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
347, 33sylan2br 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑧𝐴)) → (((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
3534anass1rs 848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
3635pm5.32da 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → ((𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
3711, 13fmptd 6340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶ℝ)
38 ffn 6002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶ℝ → (𝑥𝐵𝐶) Fn 𝐵)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) Fn 𝐵)
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑥𝐵𝐶) Fn 𝐵)
41 elpreima 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐵𝐶) Fn 𝐵 → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
4316, 18fmptd 6340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐷):𝐵⟶ℝ)
44 ffn 6002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐵𝐷):𝐵⟶ℝ → (𝑥𝐵𝐷) Fn 𝐵)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐷) Fn 𝐵)
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑥𝐵𝐷) Fn 𝐵)
47 elpreima 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐵𝐷) Fn 𝐵 → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
4936, 42, 483bitr4d 300 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)))
5049ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (¬ 𝑧𝐴 → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))))
5150con1d 139 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (¬ (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) → 𝑧𝐴))
5251abssdv 3655 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑧 ∣ ¬ (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))} ⊆ 𝐴)
536, 52syl5eqss 3628 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ⊆ 𝐴)
5453unssad 3768 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴)
55 mbfeqa.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
5654, 55sstrd 3593 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ ℝ)
57 mbfeqa.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
58 ovolssnul 23162 . . . . . . . . . 10 (((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) = 0)
5954, 55, 57, 58syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (vol*‘(((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) = 0)
60 nulmbl 23210 . . . . . . . . 9 (((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) = 0) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
6156, 59, 60syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
62 difmbl 23218 . . . . . . . 8 ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
635, 61, 62syl2anr 495 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
644, 63syl5eqel 2702 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
6553unssbd 3769 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴)
6665, 55sstrd 3593 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ⊆ ℝ)
67 ovolssnul 23162 . . . . . . . . 9 (((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) = 0)
6865, 55, 57, 67syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol*‘(((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) = 0)
69 nulmbl 23210 . . . . . . . 8 (((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) = 0) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
7066, 68, 69syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
7170adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
72 unmbl 23212 . . . . . 6 (((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → ((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
7364, 71, 72syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
741, 73syl5eqelr 2703 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol)
75 inundif 4018 . . . . 5 ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) = ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)
76 incom 3783 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))
77 dfin4 3843 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)))
7876, 77eqtri 2643 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) = (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)))
79 id 22 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol → ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol)
80 difmbl 23218 . . . . . . . 8 ((((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol ∧ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
8179, 70, 80syl2anr 495 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ (((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
8278, 81syl5eqel 2702 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
8361adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
84 unmbl 23212 . . . . . 6 (((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol ∧ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol) → ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
8582, 83, 84syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∩ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∪ (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) ∈ dom vol)
8675, 85syl5eqelr 2703 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol) → ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol)
8774, 86impbida 876 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ↔ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
8887ralbidv 2980 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
89 ismbf 23303 . . 3 ((𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶ℝ → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol))
9037, 89syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∈ dom vol))
91 ismbf 23303 . . 3 ((𝑥𝐵𝐷):𝐵⟶ℝ → ((𝑥𝐵𝐷) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
9243, 91syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐷) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ∈ dom vol))
9388, 90, 923bitr4d 300 1 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐵𝐷) ∈ MblFn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wral 2907  cdif 3552  cun 3553  cin 3554  wss 3555  cmpt 4673  ccnv 5073  dom cdm 5074  ran crn 5075  cima 5077   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  cr 9879  0cc0 9880  (,)cioo 12117  vol*covol 23138  volcvol 23139  MblFncmbf 23289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-xmet 19658  df-met 19659  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-mbf 23294
This theorem is referenced by:  mbfeqa  23316
  Copyright terms: Public domain W3C validator