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Theorem mbfi1fseqlem5 23206
Description: Lemma for mbfi1fseq 23208. Verify that 𝐺 describes an increasing sequence of positive functions. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1fseq.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
mbfi1fseq.3 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
mbfi1fseq.4 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑚[,]𝑚), if((𝑚𝐽𝑥) ≤ 𝑚, (𝑚𝐽𝑥), 𝑚), 0)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem5 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (0𝑝𝑟 ≤ (𝐺𝐴) ∧ (𝐺𝐴) ∘𝑟 ≤ (𝐺‘(𝐴 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐹   𝑥,𝐺   𝑚,𝐽   𝜑,𝑚,𝑥,𝑦   𝐴,𝑚,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,𝑚)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem5
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
21adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
32ffvelrnda 6249 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
4 elrege0 12102 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
53, 4sylib 206 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
65simpld 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
7 2nn 11029 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
8 nnnn0 11143 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
9 nnexpcl 12687 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
107, 8, 9sylancr 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
1110ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
1211nnred 10879 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝐴) ∈ ℝ)
136, 12remulcld 9923 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) ∈ ℝ)
1411nnnn0d 11195 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝐴) ∈ ℕ0)
1514nn0ge0d 11198 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (2↑𝐴))
16 mulge0 10392 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝐴))) → 0 ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)))
175, 12, 15, 16syl12anc 1315 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)))
18 flge0nn0 12435 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℕ0)
1913, 17, 18syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℕ0)
2019nn0red 11196 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℝ)
2119nn0ge0d 11198 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))))
2211nngt0d 10908 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 < (2↑𝐴))
23 divge0 10738 . . . . . . . 8 ((((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)))) ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐴))) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
2420, 21, 12, 22, 23syl22anc 1318 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
25 simpr 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 = 𝐴𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
2625fveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 = 𝐴𝑦 = 𝑥) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
27 simpl 471 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 = 𝐴𝑦 = 𝑥) → 𝑚 = 𝐴)
2827oveq2d 6540 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 = 𝐴𝑦 = 𝑥) → (2↑𝑚) = (2↑𝐴))
2926, 28oveq12d 6542 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 = 𝐴𝑦 = 𝑥) → ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) = ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)))
3029fveq2d 6089 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 = 𝐴𝑦 = 𝑥) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) = (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))))
3130, 28oveq12d 6542 . . . . . . . . 9 ((𝑚 = 𝐴𝑦 = 𝑥) → ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
32 mbfi1fseq.3 . . . . . . . . 9 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
33 ovex 6552 . . . . . . . . 9 ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ∈ V
3431, 32, 33ovmpt2a 6664 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑥) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
3534adantll 745 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑥) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
3624, 35breqtrrd 4602 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴𝐽𝑥))
378nn0ge0d 11198 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐴)
3837ad2antlr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
39 breq2 4578 . . . . . . 7 ((𝐴𝐽𝑥) = if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) → (0 ≤ (𝐴𝐽𝑥) ↔ 0 ≤ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴)))
40 breq2 4578 . . . . . . 7 (𝐴 = if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴)))
4139, 40ifboth 4070 . . . . . 6 ((0 ≤ (𝐴𝐽𝑥) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴))
4236, 38, 41syl2anc 690 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴))
43 0le0 10954 . . . . 5 0 ≤ 0
44 breq2 4578 . . . . . 6 (if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) = if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) → (0 ≤ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0)))
45 breq2 4578 . . . . . 6 (0 = if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0)))
4644, 45ifboth 4070 . . . . 5 ((0 ≤ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))
4742, 43, 46sylancl 692 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))
4847ralrimiva 2945 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))
49 0re 9893 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
50 fnconstg 5988 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
5149, 50ax-mp 5 . . . . . 6 (ℂ × {0}) Fn ℂ
52 df-0p 23157 . . . . . . 7 0𝑝 = (ℂ × {0})
5352fneq1i 5882 . . . . . 6 (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
5451, 53mpbir 219 . . . . 5 0𝑝 Fn ℂ
5554a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → 0𝑝 Fn ℂ)
56 mbfi1fseq.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
57 mbfi1fseq.4 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑚[,]𝑚), if((𝑚𝐽𝑥) ≤ 𝑚, (𝑚𝐽𝑥), 𝑚), 0)))
5856, 1, 32, 57mbfi1fseqlem4 23205 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℕ⟶dom ∫1)
5958ffvelrnda 6249 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (𝐺𝐴) ∈ dom ∫1)
60 i1ff 23163 . . . . 5 ((𝐺𝐴) ∈ dom ∫1 → (𝐺𝐴):ℝ⟶ℝ)
61 ffn 5941 . . . . 5 ((𝐺𝐴):ℝ⟶ℝ → (𝐺𝐴) Fn ℝ)
6259, 60, 613syl 18 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (𝐺𝐴) Fn ℝ)
63 cnex 9870 . . . . 5 ℂ ∈ V
6463a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ℂ ∈ V)
65 reex 9880 . . . . 5 ℝ ∈ V
6665a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
67 ax-resscn 9846 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
68 sseqin2 3775 . . . . 5 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
6967, 68mpbi 218 . . . 4 (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
70 0pval 23158 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝𝑥) = 0)
7170adantl 480 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝𝑥) = 0)
7256, 1, 32, 57mbfi1fseqlem2 23203 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐺𝐴) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0)))
7372fveq1d 6087 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐺𝐴)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))‘𝑥))
7473ad2antlr 758 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝐴)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))‘𝑥))
75 simpr 475 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
76 rge0ssre 12104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
77 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
78 ffvelrn 6247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞))
791, 77, 78syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞))
8076, 79sseldi 3562 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
81 nnnn0 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
82 nnexpcl 12687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
837, 81, 82sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
8483ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
8584nnred 10879 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
8680, 85remulcld 9923 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
87 reflcl 12411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
8988, 84nndivred 10913 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
9089ralrimivva 2950 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
9132fmpt2 7100 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ ↔ 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶ℝ)
9290, 91sylib 206 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽:(ℕ × ℝ)⟶ℝ)
93 fovrn 6676 . . . . . . . . . 10 ((𝐽:(ℕ × ℝ)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑥) ∈ ℝ)
9492, 93syl3an1 1350 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑥) ∈ ℝ)
95943expa 1256 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑥) ∈ ℝ)
96 nnre 10871 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
9796ad2antlr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9895, 97ifcld 4077 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ∈ ℝ)
99 ifcl 4076 . . . . . . 7 ((if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ∈ ℝ)
10098, 49, 99sylancl 692 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ∈ ℝ)
101 eqid 2606 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))
102101fvmpt2 6182 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))
10375, 100, 102syl2anc 690 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))
10474, 103eqtrd 2640 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝐴)‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))
10555, 62, 64, 66, 69, 71, 104ofrfval 6777 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (0𝑝𝑟 ≤ (𝐺𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0)))
10648, 105mpbird 245 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → 0𝑝𝑟 ≤ (𝐺𝐴))
10756, 1, 32mbfi1fseqlem1 23202 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
108107ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
109 peano2nn 10876 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
110109ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
111108, 110, 75fovrnd 6678 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ∈ (0[,)+∞))
112 elrege0 12102 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥)))
113111, 112sylib 206 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥)))
114113simpld 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ∈ ℝ)
115 min1 11850 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐽𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ (𝐴𝐽𝑥))
11695, 97, 115syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ (𝐴𝐽𝑥))
117 2cn 10935 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
1188ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
119 expp1 12681 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
120117, 118, 119sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
121120oveq2d 6540 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑(𝐴 + 1))) = (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · ((2↑𝐴) · 2)))
12235, 95eqeltrrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ∈ ℝ)
123122recnd 9921 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ∈ ℂ)
12412recnd 9921 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝐴) ∈ ℂ)
125 2cnd 10937 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
126123, 124, 125mulassd 9916 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑𝐴)) · 2) = (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · ((2↑𝐴) · 2)))
12720recnd 9921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℂ)
12811nnne0d 10909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝐴) ≠ 0)
129127, 124, 128divcan1d 10648 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑𝐴)) = (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))))
130129oveq1d 6539 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑𝐴)) · 2) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2))
131121, 126, 1303eqtr2d 2646 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑(𝐴 + 1))) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2))
132 flle 12414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)))
13313, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)))
134 2re 10934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
135 2pos 10956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 2
136134, 135pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
138 lemul1 10721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ (((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) · 2)))
13920, 13, 137, 138syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ (((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) · 2)))
140133, 139mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ (((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) · 2))
141120oveq2d 6540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))) = ((𝐹𝑥) · ((2↑𝐴) · 2)))
1426recnd 9921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
143142, 124, 125mulassd 9916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) · 2) = ((𝐹𝑥) · ((2↑𝐴) · 2)))
144141, 143eqtr4d 2643 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))) = (((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) · 2))
145140, 144breqtrrd 4602 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))))
146110nnnn0d 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
147 nnexpcl 12687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
1487, 146, 147sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
149148nnred 10879 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
1506, 149remulcld 9923 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
15113flcld 12413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℤ)
152 2z 11239 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
153 zmulcl 11256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ∈ ℤ)
154151, 152, 153sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ∈ ℤ)
155 flge 12420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ∈ ℤ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))))))
156150, 154, 155syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))))))
157145, 156mpbid 220 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))))
158131, 157eqbrtrd 4596 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑(𝐴 + 1))) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))))
159 reflcl 12411 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) ∈ ℝ)
160150, 159syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) ∈ ℝ)
161148nngt0d 10908 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 < (2↑(𝐴 + 1)))
162 lemuldiv 10749 . . . . . . . . . . . 12 ((((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ∈ ℝ ∧ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) ∈ ℝ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑(𝐴 + 1)))) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑(𝐴 + 1))) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ≤ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) / (2↑(𝐴 + 1)))))
163122, 160, 149, 161, 162syl112anc 1321 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑(𝐴 + 1))) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ≤ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) / (2↑(𝐴 + 1)))))
164158, 163mpbid 220 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ≤ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) / (2↑(𝐴 + 1))))
165 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 = (𝐴 + 1) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
166165fveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 = (𝐴 + 1) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
167 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 = (𝐴 + 1) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑚 = (𝐴 + 1))
168167oveq2d 6540 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 = (𝐴 + 1) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (2↑𝑚) = (2↑(𝐴 + 1)))
169166, 168oveq12d 6542 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 = (𝐴 + 1) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) = ((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))))
170169fveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 = (𝐴 + 1) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) = (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))))
171170, 168oveq12d 6542 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 = (𝐴 + 1) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) / (2↑(𝐴 + 1))))
172 ovex 6552 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) / (2↑(𝐴 + 1))) ∈ V
173171, 32, 172ovmpt2a 6664 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) / (2↑(𝐴 + 1))))
174110, 75, 173syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) / (2↑(𝐴 + 1))))
175164, 35, 1743brtr4d 4606 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑥) ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥))
17698, 95, 114, 116, 175letrd 10042 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥))
177110nnred 10879 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
178 min2 11851 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐽𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ 𝐴)
17995, 97, 178syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ 𝐴)
18097lep1d 10801 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
18198, 97, 177, 179, 180letrd 10042 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ (𝐴 + 1))
182 breq2 4578 . . . . . . . . 9 (((𝐴 + 1)𝐽𝑥) = if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) → (if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ↔ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1))))
183 breq2 4578 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + 1) = if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) → (if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ (𝐴 + 1) ↔ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1))))
184182, 183ifboth 4070 . . . . . . . 8 ((if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ∧ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ (𝐴 + 1)) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)))
185176, 181, 184syl2anc 690 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)))
186185adantr 479 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)))
187 iftrue 4038 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) = if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴))
188187adantl 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) = if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴))
189177renegcld 10305 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(𝐴 + 1) ∈ ℝ)
19097, 177lenegd 10452 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ -(𝐴 + 1) ≤ -𝐴))
191180, 190mpbid 220 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(𝐴 + 1) ≤ -𝐴)
192 iccss 12065 . . . . . . . . 9 (((-(𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) ∧ (-(𝐴 + 1) ≤ -𝐴𝐴 ≤ (𝐴 + 1))) → (-𝐴[,]𝐴) ⊆ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)))
193189, 177, 191, 180, 192syl22anc 1318 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝐴[,]𝐴) ⊆ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)))
194193sselda 3564 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)))
195194iftrued 4040 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0) = if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)))
196186, 188, 1953brtr4d 4606 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
197 iffalse 4041 . . . . . . 7 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) = 0)
198197adantl 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) = 0)
199113simprd 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥))
200146nn0ge0d 11198 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴 + 1))
201 breq2 4578 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 1)𝐽𝑥) = if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) → (0 ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ↔ 0 ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1))))
202 breq2 4578 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 1) = if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) → (0 ≤ (𝐴 + 1) ↔ 0 ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1))))
203201, 202ifboth 4070 . . . . . . . . 9 ((0 ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐴 + 1)) → 0 ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)))
204199, 200, 203syl2anc 690 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)))
205 breq2 4578 . . . . . . . . 9 (if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) = if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0) → (0 ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0)))
206 breq2 4578 . . . . . . . . 9 (0 = if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0)))
207205, 206ifboth 4070 . . . . . . . 8 ((0 ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
208204, 43, 207sylancl 692 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
209208adantr 479 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
210198, 209eqbrtrd 4596 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
211196, 210pm2.61dan 827 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
212211ralrimiva 2945 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
213 ffvelrn 6247 . . . . . 6 ((𝐺:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝐴 + 1)) ∈ dom ∫1)
21458, 109, 213syl2an 492 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝐴 + 1)) ∈ dom ∫1)
215 i1ff 23163 . . . . 5 ((𝐺‘(𝐴 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝐺‘(𝐴 + 1)):ℝ⟶ℝ)
216 ffn 5941 . . . . 5 ((𝐺‘(𝐴 + 1)):ℝ⟶ℝ → (𝐺‘(𝐴 + 1)) Fn ℝ)
217214, 215, 2163syl 18 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝐴 + 1)) Fn ℝ)
218 inidm 3780 . . . 4 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
21956, 1, 32, 57mbfi1fseqlem2 23203 . . . . . . 7 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (𝐺‘(𝐴 + 1)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0)))
220219fveq1d 6087 . . . . . 6 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → ((𝐺‘(𝐴 + 1))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))‘𝑥))
221110, 220syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺‘(𝐴 + 1))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))‘𝑥))
222114, 177ifcld 4077 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
223 ifcl 4076 . . . . . . 7 ((if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0) ∈ ℝ)
224222, 49, 223sylancl 692 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0) ∈ ℝ)
225 eqid 2606 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
226225fvmpt2 6182 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0) ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
22775, 224, 226syl2anc 690 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
228221, 227eqtrd 2640 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺‘(𝐴 + 1))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
22962, 217, 66, 66, 218, 104, 228ofrfval 6777 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐺𝐴) ∘𝑟 ≤ (𝐺‘(𝐴 + 1)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0)))
230212, 229mpbird 245 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (𝐺𝐴) ∘𝑟 ≤ (𝐺‘(𝐴 + 1)))
231106, 230jca 552 1 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (0𝑝𝑟 ≤ (𝐺𝐴) ∧ (𝐺𝐴) ∘𝑟 ≤ (𝐺‘(𝐴 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2892  Vcvv 3169  cin 3535  wss 3536  ifcif 4032  {csn 4121   class class class wbr 4574  cmpt 4634   × cxp 5023  dom cdm 5025   Fn wfn 5782  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524  cmpt2 6526  𝑟 cofr 6768  cc 9787  cr 9788  0cc0 9789  1c1 9790   + caddc 9792   · cmul 9794  +∞cpnf 9924   < clt 9927  cle 9928  -cneg 10115   / cdiv 10530  cn 10864  2c2 10914  0cn0 11136  cz 11207  [,)cico 12001  [,]cicc 12002  cfl 12405  cexp 12674  MblFncmbf 23103  1citg1 23104  0𝑝c0p 23156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-ofr 6770  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-ioo 12003  df-ico 12005  df-icc 12006  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-fl 12407  df-seq 12616  df-exp 12675  df-hash 12932  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-clim 14010  df-rlim 14011  df-sum 14208  df-rest 15849  df-topgen 15870  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-cmp 20939  df-ovol 22954  df-vol 22955  df-mbf 23108  df-itg1 23109  df-0p 23157
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem6  23207
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