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Theorem mbfi1fseqlem5 23531
Description: Lemma for mbfi1fseq 23533. Verify that 𝐺 describes an increasing sequence of positive functions. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1fseq.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
mbfi1fseq.3 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
mbfi1fseq.4 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑚[,]𝑚), if((𝑚𝐽𝑥) ≤ 𝑚, (𝑚𝐽𝑥), 𝑚), 0)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem5 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (0𝑝𝑟 ≤ (𝐺𝐴) ∧ (𝐺𝐴) ∘𝑟 ≤ (𝐺‘(𝐴 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐹   𝑥,𝐺   𝑚,𝐽   𝜑,𝑚,𝑥,𝑦   𝐴,𝑚,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,𝑚)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem5
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
21adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
32ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
4 elrege0 12316 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
53, 4sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
65simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
7 2nn 11223 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
8 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
9 nnexpcl 12913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
107, 8, 9sylancr 696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
1110ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
1211nnred 11073 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝐴) ∈ ℝ)
136, 12remulcld 10108 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) ∈ ℝ)
1411nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝐴) ∈ ℕ0)
1514nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (2↑𝐴))
16 mulge0 10584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝐴))) → 0 ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)))
175, 12, 15, 16syl12anc 1364 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)))
18 flge0nn0 12661 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℕ0)
1913, 17, 18syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℕ0)
2019nn0red 11390 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℝ)
2119nn0ge0d 11392 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))))
2211nngt0d 11102 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 < (2↑𝐴))
23 divge0 10930 . . . . . . . 8 ((((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)))) ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐴))) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
2420, 21, 12, 22, 23syl22anc 1367 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
25 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 = 𝐴𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
2625fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 = 𝐴𝑦 = 𝑥) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
27 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 = 𝐴𝑦 = 𝑥) → 𝑚 = 𝐴)
2827oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 = 𝐴𝑦 = 𝑥) → (2↑𝑚) = (2↑𝐴))
2926, 28oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 = 𝐴𝑦 = 𝑥) → ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) = ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)))
3029fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 = 𝐴𝑦 = 𝑥) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) = (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))))
3130, 28oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 ((𝑚 = 𝐴𝑦 = 𝑥) → ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
32 mbfi1fseq.3 . . . . . . . . 9 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
33 ovex 6718 . . . . . . . . 9 ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ∈ V
3431, 32, 33ovmpt2a 6833 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑥) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
3534adantll 750 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑥) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
3624, 35breqtrrd 4713 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴𝐽𝑥))
378nn0ge0d 11392 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐴)
3837ad2antlr 763 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
39 breq2 4689 . . . . . . 7 ((𝐴𝐽𝑥) = if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) → (0 ≤ (𝐴𝐽𝑥) ↔ 0 ≤ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴)))
40 breq2 4689 . . . . . . 7 (𝐴 = if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴)))
4139, 40ifboth 4157 . . . . . 6 ((0 ≤ (𝐴𝐽𝑥) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴))
4236, 38, 41syl2anc 694 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴))
43 0le0 11148 . . . . 5 0 ≤ 0
44 breq2 4689 . . . . . 6 (if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) = if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) → (0 ≤ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0)))
45 breq2 4689 . . . . . 6 (0 = if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0)))
4644, 45ifboth 4157 . . . . 5 ((0 ≤ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))
4742, 43, 46sylancl 695 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))
4847ralrimiva 2995 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))
49 0re 10078 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
50 fnconstg 6131 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
5149, 50ax-mp 5 . . . . . 6 (ℂ × {0}) Fn ℂ
52 df-0p 23482 . . . . . . 7 0𝑝 = (ℂ × {0})
5352fneq1i 6023 . . . . . 6 (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
5451, 53mpbir 221 . . . . 5 0𝑝 Fn ℂ
5554a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → 0𝑝 Fn ℂ)
56 mbfi1fseq.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
57 mbfi1fseq.4 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑚[,]𝑚), if((𝑚𝐽𝑥) ≤ 𝑚, (𝑚𝐽𝑥), 𝑚), 0)))
5856, 1, 32, 57mbfi1fseqlem4 23530 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℕ⟶dom ∫1)
5958ffvelrnda 6399 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (𝐺𝐴) ∈ dom ∫1)
60 i1ff 23488 . . . . 5 ((𝐺𝐴) ∈ dom ∫1 → (𝐺𝐴):ℝ⟶ℝ)
61 ffn 6083 . . . . 5 ((𝐺𝐴):ℝ⟶ℝ → (𝐺𝐴) Fn ℝ)
6259, 60, 613syl 18 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (𝐺𝐴) Fn ℝ)
63 cnex 10055 . . . . 5 ℂ ∈ V
6463a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ℂ ∈ V)
65 reex 10065 . . . . 5 ℝ ∈ V
6665a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
67 ax-resscn 10031 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
68 sseqin2 3850 . . . . 5 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
6967, 68mpbi 220 . . . 4 (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
70 0pval 23483 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝𝑥) = 0)
7170adantl 481 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝𝑥) = 0)
7256, 1, 32, 57mbfi1fseqlem2 23528 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐺𝐴) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0)))
7372fveq1d 6231 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐺𝐴)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))‘𝑥))
7473ad2antlr 763 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝐴)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))‘𝑥))
75 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
76 rge0ssre 12318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
77 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
78 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞))
791, 77, 78syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞))
8076, 79sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
81 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
82 nnexpcl 12913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
837, 81, 82sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
8483ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
8584nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
8680, 85remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
87 reflcl 12637 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
8988, 84nndivred 11107 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
9089ralrimivva 3000 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
9132fmpt2 7282 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ ↔ 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶ℝ)
9290, 91sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽:(ℕ × ℝ)⟶ℝ)
93 fovrn 6846 . . . . . . . . . 10 ((𝐽:(ℕ × ℝ)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑥) ∈ ℝ)
9492, 93syl3an1 1399 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑥) ∈ ℝ)
95943expa 1284 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑥) ∈ ℝ)
96 nnre 11065 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
9796ad2antlr 763 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9895, 97ifcld 4164 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ∈ ℝ)
99 ifcl 4163 . . . . . . 7 ((if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ∈ ℝ)
10098, 49, 99sylancl 695 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ∈ ℝ)
101 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))
102101fvmpt2 6330 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))
10375, 100, 102syl2anc 694 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))
10474, 103eqtrd 2685 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝐴)‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))
10555, 62, 64, 66, 69, 71, 104ofrfval 6947 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (0𝑝𝑟 ≤ (𝐺𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0)))
10648, 105mpbird 247 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → 0𝑝𝑟 ≤ (𝐺𝐴))
10756, 1, 32mbfi1fseqlem1 23527 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
108107ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
109 peano2nn 11070 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
110109ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
111108, 110, 75fovrnd 6848 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ∈ (0[,)+∞))
112 elrege0 12316 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥)))
113111, 112sylib 208 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥)))
114113simpld 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ∈ ℝ)
115 min1 12058 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐽𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ (𝐴𝐽𝑥))
11695, 97, 115syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ (𝐴𝐽𝑥))
117 2cn 11129 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
1188ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
119 expp1 12907 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
120117, 118, 119sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
121120oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑(𝐴 + 1))) = (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · ((2↑𝐴) · 2)))
12235, 95eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ∈ ℝ)
123122recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ∈ ℂ)
12412recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝐴) ∈ ℂ)
125 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
126123, 124, 125mulassd 10101 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑𝐴)) · 2) = (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · ((2↑𝐴) · 2)))
12720recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℂ)
12811nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝐴) ≠ 0)
129127, 124, 128divcan1d 10840 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑𝐴)) = (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))))
130129oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑𝐴)) · 2) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2))
131121, 126, 1303eqtr2d 2691 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑(𝐴 + 1))) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2))
132 flle 12640 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)))
13313, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)))
134 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
135 2pos 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 2
136134, 135pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
138 lemul1 10913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ (((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) · 2)))
13920, 13, 137, 138syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ (((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) · 2)))
140133, 139mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ (((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) · 2))
141120oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))) = ((𝐹𝑥) · ((2↑𝐴) · 2)))
1426recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
143142, 124, 125mulassd 10101 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) · 2) = ((𝐹𝑥) · ((2↑𝐴) · 2)))
144141, 143eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))) = (((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) · 2))
145140, 144breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))))
146110nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
147 nnexpcl 12913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
1487, 146, 147sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
149148nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
1506, 149remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
15113flcld 12639 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℤ)
152 2z 11447 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
153 zmulcl 11464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ∈ ℤ)
154151, 152, 153sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ∈ ℤ)
155 flge 12646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ∈ ℤ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))))))
156150, 154, 155syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))))))
157145, 156mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))))
158131, 157eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑(𝐴 + 1))) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))))
159 reflcl 12637 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) ∈ ℝ)
160150, 159syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) ∈ ℝ)
161148nngt0d 11102 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 < (2↑(𝐴 + 1)))
162 lemuldiv 10941 . . . . . . . . . . . 12 ((((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ∈ ℝ ∧ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) ∈ ℝ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑(𝐴 + 1)))) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑(𝐴 + 1))) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ≤ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) / (2↑(𝐴 + 1)))))
163122, 160, 149, 161, 162syl112anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑(𝐴 + 1))) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ≤ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) / (2↑(𝐴 + 1)))))
164158, 163mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ≤ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) / (2↑(𝐴 + 1))))
165 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 = (𝐴 + 1) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
166165fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 = (𝐴 + 1) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
167 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 = (𝐴 + 1) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑚 = (𝐴 + 1))
168167oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 = (𝐴 + 1) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (2↑𝑚) = (2↑(𝐴 + 1)))
169166, 168oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 = (𝐴 + 1) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) = ((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))))
170169fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 = (𝐴 + 1) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) = (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))))
171170, 168oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 = (𝐴 + 1) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) / (2↑(𝐴 + 1))))
172 ovex 6718 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) / (2↑(𝐴 + 1))) ∈ V
173171, 32, 172ovmpt2a 6833 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) / (2↑(𝐴 + 1))))
174110, 75, 173syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) / (2↑(𝐴 + 1))))
175164, 35, 1743brtr4d 4717 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑥) ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥))
17698, 95, 114, 116, 175letrd 10232 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥))
177110nnred 11073 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
178 min2 12059 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐽𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ 𝐴)
17995, 97, 178syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ 𝐴)
18097lep1d 10993 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
18198, 97, 177, 179, 180letrd 10232 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ (𝐴 + 1))
182 breq2 4689 . . . . . . . . 9 (((𝐴 + 1)𝐽𝑥) = if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) → (if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ↔ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1))))
183 breq2 4689 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + 1) = if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) → (if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ (𝐴 + 1) ↔ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1))))
184182, 183ifboth 4157 . . . . . . . 8 ((if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ∧ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ (𝐴 + 1)) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)))
185176, 181, 184syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)))
186185adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)))
187 iftrue 4125 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) = if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴))
188187adantl 481 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) = if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴))
189177renegcld 10495 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(𝐴 + 1) ∈ ℝ)
19097, 177lenegd 10644 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ -(𝐴 + 1) ≤ -𝐴))
191180, 190mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(𝐴 + 1) ≤ -𝐴)
192 iccss 12279 . . . . . . . . 9 (((-(𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) ∧ (-(𝐴 + 1) ≤ -𝐴𝐴 ≤ (𝐴 + 1))) → (-𝐴[,]𝐴) ⊆ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)))
193189, 177, 191, 180, 192syl22anc 1367 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝐴[,]𝐴) ⊆ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)))
194193sselda 3636 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)))
195194iftrued 4127 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0) = if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)))
196186, 188, 1953brtr4d 4717 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
197 iffalse 4128 . . . . . . 7 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) = 0)
198197adantl 481 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) = 0)
199113simprd 478 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥))
200146nn0ge0d 11392 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴 + 1))
201 breq2 4689 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 1)𝐽𝑥) = if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) → (0 ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ↔ 0 ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1))))
202 breq2 4689 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 1) = if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) → (0 ≤ (𝐴 + 1) ↔ 0 ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1))))
203201, 202ifboth 4157 . . . . . . . . 9 ((0 ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐴 + 1)) → 0 ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)))
204199, 200, 203syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)))
205 breq2 4689 . . . . . . . . 9 (if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) = if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0) → (0 ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0)))
206 breq2 4689 . . . . . . . . 9 (0 = if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0)))
207205, 206ifboth 4157 . . . . . . . 8 ((0 ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
208204, 43, 207sylancl 695 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
209208adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
210198, 209eqbrtrd 4707 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
211196, 210pm2.61dan 849 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
212211ralrimiva 2995 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
213 ffvelrn 6397 . . . . . 6 ((𝐺:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝐴 + 1)) ∈ dom ∫1)
21458, 109, 213syl2an 493 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝐴 + 1)) ∈ dom ∫1)
215 i1ff 23488 . . . . 5 ((𝐺‘(𝐴 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝐺‘(𝐴 + 1)):ℝ⟶ℝ)
216 ffn 6083 . . . . 5 ((𝐺‘(𝐴 + 1)):ℝ⟶ℝ → (𝐺‘(𝐴 + 1)) Fn ℝ)
217214, 215, 2163syl 18 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝐴 + 1)) Fn ℝ)
218 inidm 3855 . . . 4 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
21956, 1, 32, 57mbfi1fseqlem2 23528 . . . . . . 7 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (𝐺‘(𝐴 + 1)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0)))
220219fveq1d 6231 . . . . . 6 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → ((𝐺‘(𝐴 + 1))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))‘𝑥))
221110, 220syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺‘(𝐴 + 1))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))‘𝑥))
222114, 177ifcld 4164 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
223 ifcl 4163 . . . . . . 7 ((if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0) ∈ ℝ)
224222, 49, 223sylancl 695 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0) ∈ ℝ)
225 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
226225fvmpt2 6330 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0) ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
22775, 224, 226syl2anc 694 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
228221, 227eqtrd 2685 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺‘(𝐴 + 1))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
22962, 217, 66, 66, 218, 104, 228ofrfval 6947 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐺𝐴) ∘𝑟 ≤ (𝐺‘(𝐴 + 1)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0)))
230212, 229mpbird 247 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (𝐺𝐴) ∘𝑟 ≤ (𝐺‘(𝐴 + 1)))
231106, 230jca 553 1 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (0𝑝𝑟 ≤ (𝐺𝐴) ∧ (𝐺𝐴) ∘𝑟 ≤ (𝐺‘(𝐴 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  ifcif 4119  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  dom cdm 5143   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  𝑟 cofr 6938  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109   < clt 10112  cle 10113  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  cfl 12631  cexp 12900  MblFncmbf 23428  1citg1 23429  0𝑝c0p 23481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-0p 23482
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem6  23532
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