MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfima 23380
Description: Definitional property of a measurable function: the preimage of an open right-unbounded interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfima ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfima
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf 23378 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
21biimpac 503 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol)
3 ioof 12256 . . . . 5 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
4 ffn 6032 . . . . 5 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
6 fnovrn 6794 . . . 4 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵(,)𝐶) ∈ ran (,))
75, 6mp3an1 1409 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵(,)𝐶) ∈ ran (,))
8 imaeq2 5450 . . . . 5 (𝑥 = (𝐵(,)𝐶) → (𝐹𝑥) = (𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)))
98eleq1d 2684 . . . 4 (𝑥 = (𝐵(,)𝐶) → ((𝐹𝑥) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol))
109rspccva 3303 . . 3 ((∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol ∧ (𝐵(,)𝐶) ∈ ran (,)) → (𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)
112, 7, 10syl2an 494 . 2 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)
12 ndmioo 12187 . . . . . 6 (¬ (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵(,)𝐶) = ∅)
1312imaeq2d 5454 . . . . 5 (¬ (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐹 “ ∅))
14 ima0 5469 . . . . 5 (𝐹 “ ∅) = ∅
1513, 14syl6eq 2670 . . . 4 (¬ (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
16 0mbl 23288 . . . 4 ∅ ∈ dom vol
1715, 16syl6eqel 2707 . . 3 (¬ (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)
1817adantl 482 . 2 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) ∧ ¬ (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*)) → (𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)
1911, 18pm2.61dan 831 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (𝐵(,)𝐶)) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  c0 3907  𝒫 cpw 4149   × cxp 5102  ccnv 5103  dom cdm 5104  ran crn 5105  cima 5107   Fn wfn 5871  wf 5872  (class class class)co 6635  cr 9920  *cxr 10058  (,)cioo 12160  volcvol 23213  MblFncmbf 23364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xadd 11932  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-sum 14398  df-xmet 19720  df-met 19721  df-ovol 23214  df-vol 23215  df-mbf 23369
This theorem is referenced by:  mbfimaicc  23381  mbfres  23392  mbfmulc2lem  23395  mbfmax  23397  mbfposr  23400  mbfaddlem  23408  mbfsup  23412  mbfi1fseqlem4  23466  itg2monolem1  23498  itg2gt0  23508  itg2cnlem1  23509  itg2cnlem2  23510  mbfposadd  33428  itg2addnclem2  33433  iblabsnclem  33444  ftc1anclem1  33456  ftc1anclem5  33460  ftc1anclem6  33461  mbfresmf  40711
  Copyright terms: Public domain W3C validator