MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbflim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbflim 23358
Description: The pointwise limit of a sequence of measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
mbflim.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mbflim.4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐶)
mbflim.5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbflim.6 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
mbflim (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑉(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem mbflim
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflim.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 mbflim.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 mbflim.4 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐶)
4 fvex 6163 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ∈ V
51, 4eqeltri 2694 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
65mptex 6446 . . . . 5 (𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ V
76a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ V)
82adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
9 mbflim.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
10 mbflim.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵𝑉)
1110anassrs 679 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
129, 11mbfmptcl 23327 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1312an32s 845 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
14 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑛𝑍𝐵) = (𝑛𝑍𝐵)
1513, 14fmptd 6346 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℂ)
1615ffvelrnda 6320 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ)
17 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
1813recld 13876 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
19 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) = (𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))
2019fvmpt2 6253 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑍 ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘𝐵))
2117, 18, 20syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘𝐵))
2214fvmpt2 6253 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑍𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
2317, 13, 22syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
2423fveq2d 6157 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)) = (ℜ‘𝐵))
2521, 24eqtr4d 2658 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
2625ralrimiva 2961 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑛𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
27 nffvmpt1 6161 . . . . . . . 8 𝑛((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘)
28 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑛
29 nffvmpt1 6161 . . . . . . . . 9 𝑛((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)
3028, 29nffv 6160 . . . . . . . 8 𝑛(ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
3127, 30nfeq 2772 . . . . . . 7 𝑛((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
32 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑘((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
33 fveq2 6153 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛))
34 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
3534fveq2d 6157 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
3633, 35eqeq12d 2636 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)) ↔ ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))))
3731, 32, 36cbvral 3158 . . . . . 6 (∀𝑘𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)) ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
3826, 37sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑘𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)))
3938r19.21bi 2927 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)))
401, 3, 7, 8, 16, 39climre 14278 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) ⇝ (ℜ‘𝐶))
4112ismbfcn2 23329 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
429, 41mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
4342simpld 475 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
4412anasss 678 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4544recld 13876 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
461, 2, 40, 43, 45mbflimlem 23357 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
475mptex 6446 . . . . 5 (𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ V
4847a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
4913imcld 13877 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
50 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))
5150fvmpt2 6253 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑍 ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘𝐵))
5217, 49, 51syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘𝐵))
5323fveq2d 6157 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)) = (ℑ‘𝐵))
5452, 53eqtr4d 2658 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
5554ralrimiva 2961 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑛𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
56 nffvmpt1 6161 . . . . . . . 8 𝑛((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘)
57 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑛
5857, 29nffv 6160 . . . . . . . 8 𝑛(ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
5956, 58nfeq 2772 . . . . . . 7 𝑛((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
60 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑘((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
61 fveq2 6153 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛))
6234fveq2d 6157 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
6361, 62eqeq12d 2636 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)) ↔ ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))))
6459, 60, 63cbvral 3158 . . . . . 6 (∀𝑘𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)) ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
6555, 64sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑘𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)))
6665r19.21bi 2927 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)))
671, 3, 48, 8, 16, 66climim 14279 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) ⇝ (ℑ‘𝐶))
6842simprd 479 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
6944imcld 13877 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
701, 2, 67, 68, 69mbflimlem 23357 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
71 climcl 14172 . . . 4 ((𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
723, 71syl 17 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7372ismbfcn2 23329 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
7446, 70, 73mpbir2and 956 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3189   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cfv 5852  cc 9886  cr 9887  cz 11329  cuz 11639  cre 13779  cim 13780  cli 14157  MblFncmbf 23306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cc 9209  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-acn 8720  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xadd 11899  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-xmet 19671  df-met 19672  df-ovol 23156  df-vol 23157  df-mbf 23311
This theorem is referenced by:  mbfmullem2  23414  mbfulm  24081
  Copyright terms: Public domain W3C validator