MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbflimlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbflimlem 24195
Description: The pointwise limit of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
mbflim.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mbflim.4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐶)
mbflim.5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbflimlem.6 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbflimlem (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem mbflimlem
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflim.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 mbflimlem.6 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
32anass1rs 651 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
43fmpttd 6871 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
5 mbflim.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
65adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 mbflim.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐶)
8 climrel 14837 . . . . . . . 8 Rel ⇝
98releldmi 5811 . . . . . . 7 ((𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐶 → (𝑛𝑍𝐵) ∈ dom ⇝ )
107, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) ∈ dom ⇝ )
111climcau 15015 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛𝑍𝐵) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑗) − ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))) < 𝑦)
126, 10, 11syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑗) − ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))) < 𝑦)
131, 4, 12caurcvg 15021 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) ⇝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)))
14 climuni 14897 . . . 4 (((𝑛𝑍𝐵) ⇝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∧ (𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐶) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) = 𝐶)
1513, 7, 14syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) = 𝐶)
1615mpteq2dva 5152 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵))) = (𝑥𝐴𝐶))
17 eqid 2818 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)))
18 eqid 2818 . . 3 (𝑚 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑛𝑍𝐵) “ (𝑚[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑚 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑛𝑍𝐵) “ (𝑚[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
194ffvelrnda 6843 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
201, 6, 13, 19climrecl 14928 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ)
21 mbflim.5 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
221, 17, 18, 5, 20, 21, 2mbflimsup 24194 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵))) ∈ MblFn)
2316, 22eqeltrrd 2911 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  cin 3932   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  cima 5551  cfv 6348  (class class class)co 7145  supcsup 8892  cr 10524  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   < clt 10663  cmin 10858  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  [,)cico 12728  abscabs 14581  lim supclsp 14815  cli 14829  MblFncmbf 24142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-xmet 20466  df-met 20467  df-ovol 23992  df-vol 23993  df-mbf 24147
This theorem is referenced by:  mbflim  24196
  Copyright terms: Public domain W3C validator