Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbflimlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbflimlem 23415
 Description: The pointwise limit of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
mbflim.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mbflim.4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐶)
mbflim.5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbflimlem.6 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbflimlem (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem mbflimlem
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflim.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 mbflimlem.6 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
32anass1rs 848 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 eqid 2620 . . . . . 6 (𝑛𝑍𝐵) = (𝑛𝑍𝐵)
53, 4fmptd 6371 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
6 mbflim.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
76adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
8 mbflim.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐶)
9 climrel 14204 . . . . . . . 8 Rel ⇝
109releldmi 5351 . . . . . . 7 ((𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐶 → (𝑛𝑍𝐵) ∈ dom ⇝ )
118, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) ∈ dom ⇝ )
121climcau 14382 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛𝑍𝐵) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑗) − ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))) < 𝑦)
137, 11, 12syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑗) − ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))) < 𝑦)
141, 5, 13caurcvg 14388 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) ⇝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)))
15 climuni 14264 . . . 4 (((𝑛𝑍𝐵) ⇝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∧ (𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐶) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) = 𝐶)
1614, 8, 15syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) = 𝐶)
1716mpteq2dva 4735 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵))) = (𝑥𝐴𝐶))
18 eqid 2620 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)))
19 eqid 2620 . . 3 (𝑚 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑛𝑍𝐵) “ (𝑚[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑚 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑛𝑍𝐵) “ (𝑚[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
205ffvelrnda 6345 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
211, 7, 14, 20climrecl 14295 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ)
22 mbflim.5 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
231, 18, 19, 6, 21, 22, 2mbflimsup 23414 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵))) ∈ MblFn)
2417, 23eqeltrrd 2700 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ∀wral 2909  ∃wrex 2910   ∩ cin 3566   class class class wbr 4644   ↦ cmpt 4720  dom cdm 5104   “ cima 5107  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  supcsup 8331  ℝcr 9920  +∞cpnf 10056  ℝ*cxr 10058   < clt 10059   − cmin 10251  ℤcz 11362  ℤ≥cuz 11672  ℝ+crp 11817  [,)cico 12162  abscabs 13955  lim supclsp 14182   ⇝ cli 14196  MblFncmbf 23364 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cc 9242  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-disj 4612  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-omul 7550  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-acn 8753  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xadd 11932  df-ioo 12164  df-ioc 12165  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-limsup 14183  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-xmet 19720  df-met 19721  df-ovol 23214  df-vol 23215  df-mbf 23369 This theorem is referenced by:  mbflim  23416
 Copyright terms: Public domain W3C validator