Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmax 23410
 Description: The maximum of two functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmax.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmax.2 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfmax.3 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
mbfmax.4 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
mbfmax.5 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ if((𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥), (𝐺𝑥), (𝐹𝑥)))
Assertion
Ref Expression
mbfmax (𝜑𝐻 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem mbfmax
Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmax.3 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
21ffvelrnda 6357 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
3 mbfmax.1 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
43ffvelrnda 6357 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
52, 4ifcld 4129 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → if((𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥), (𝐺𝑥), (𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
6 mbfmax.5 . . 3 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ if((𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥), (𝐺𝑥), (𝐹𝑥)))
75, 6fmptd 6383 . 2 (𝜑𝐻:𝐴⟶ℝ)
83adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
98ffvelrnda 6357 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
109rexrd 10086 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ*)
111adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
1211ffvelrnda 6357 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
1312rexrd 10086 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ*)
14 simplr 792 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
15 xrmaxle 12011 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦)))
1610, 13, 14, 15syl3anc 1325 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦)))
1716notbid 308 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (¬ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ¬ ((𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦)))
18 ianor 509 . . . . . . . . . 10 (¬ ((𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦) ↔ (¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∨ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦))
1917, 18syl6bb 276 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (¬ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ (¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∨ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦)))
20 pnfxr 10089 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
21 elioo2 12213 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞)))
2214, 20, 21sylancl 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞)))
23 3anan12 1050 . . . . . . . . . . . 12 ((if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞) ↔ (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞)))
2422, 23syl6bb 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞))))
25 fveq2 6189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
26 fveq2 6189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
2725, 26breq12d 4664 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥) ↔ (𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧)))
2827, 26, 25ifbieq12d 4111 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → if((𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥), (𝐺𝑥), (𝐹𝑥)) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)))
29 fvex 6199 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺𝑧) ∈ V
30 fvex 6199 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝑧) ∈ V
3129, 30ifex 4154 . . . . . . . . . . . . . 14 if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ V
3228, 6, 31fvmpt 6280 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐴 → (𝐻𝑧) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)))
3332adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐻𝑧) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)))
3433eleq1d 2685 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (𝑦(,)+∞)))
3512, 9ifcld 4129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
36 ltpnf 11951 . . . . . . . . . . . . 13 (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ → if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞)
3735, 36jccir 562 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞))
3837biantrud 528 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ↔ (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞))))
3924, 34, 383bitr4d 300 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧))))
4035rexrd 10086 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
41 xrltnle 10102 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ*) → (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ↔ ¬ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦))
4214, 40, 41syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ↔ ¬ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦))
4339, 42bitrd 268 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ¬ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦))
44 elioo2 12213 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < +∞)))
4514, 20, 44sylancl 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < +∞)))
46 3anan12 1050 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < +∞) ↔ (𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < +∞)))
4745, 46syl6bb 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < +∞))))
48 ltpnf 11951 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) ∈ ℝ → (𝐹𝑧) < +∞)
499, 48jccir 562 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < +∞))
5049biantrud 528 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < (𝐹𝑧) ↔ (𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < +∞))))
51 xrltnle 10102 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ*) → (𝑦 < (𝐹𝑧) ↔ ¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦))
5214, 10, 51syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < (𝐹𝑧) ↔ ¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦))
5347, 50, 523bitr2d 296 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦))
54 elioo2 12213 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < +∞)))
5514, 20, 54sylancl 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < +∞)))
56 3anan12 1050 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < +∞) ↔ (𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) < +∞)))
5755, 56syl6bb 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) < +∞))))
58 ltpnf 11951 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺𝑧) ∈ ℝ → (𝐺𝑧) < +∞)
5912, 58jccir 562 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) < +∞))
6059biantrud 528 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < (𝐺𝑧) ↔ (𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) < +∞))))
61 xrltnle 10102 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ*) → (𝑦 < (𝐺𝑧) ↔ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦))
6214, 13, 61syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < (𝐺𝑧) ↔ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦))
6357, 60, 623bitr2d 296 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦))
6453, 63orbi12d 746 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ∨ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∨ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦)))
6519, 43, 643bitr4d 300 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ∨ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
6665pm5.32da 673 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ∨ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)))))
67 andi 911 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ∨ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ∨ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
6866, 67syl6bb 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ∨ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)))))
69 ffn 6043 . . . . . . . . 9 (𝐻:𝐴⟶ℝ → 𝐻 Fn 𝐴)
707, 69syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 Fn 𝐴)
7170adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐻 Fn 𝐴)
72 elpreima 6335 . . . . . . 7 (𝐻 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7371, 72syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
74 ffn 6043 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐴)
758, 74syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐹 Fn 𝐴)
76 elpreima 6335 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7775, 76syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
78 ffn 6043 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐴)
7911, 78syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐺 Fn 𝐴)
80 elpreima 6335 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
8179, 80syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
8277, 81orbi12d 746 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∨ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ∨ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)))))
8368, 73, 823bitr4d 300 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∨ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)))))
84 elun 3751 . . . . 5 (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∨ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))))
8583, 84syl6bbr 278 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)))))
8685eqrdv 2619 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) = ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))))
87 mbfmax.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
88 mbfima 23393 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
8987, 3, 88syl2anc 693 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
90 mbfmax.4 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
91 mbfima 23393 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ MblFn ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
9290, 1, 91syl2anc 693 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
93 unmbl 23299 . . . . 5 (((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
9489, 92, 93syl2anc 693 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
9594adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
9686, 95eqeltrd 2700 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
97 xrmaxlt 12009 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦 ↔ ((𝐹𝑧) < 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
9810, 13, 14, 97syl3anc 1325 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦 ↔ ((𝐹𝑧) < 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
99 mnfxr 10093 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
100 elioo2 12213 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦)))
10199, 14, 100sylancr 695 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦)))
102 df-3an 1039 . . . . . . . . . . 11 ((if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦) ↔ ((if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧))) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦))
103101, 102syl6bb 276 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧))) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦)))
10433eleq1d 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (-∞(,)𝑦)))
105 mnflt 11954 . . . . . . . . . . . 12 (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ → -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)))
10635, 105jccir 562 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧))))
107106biantrurd 529 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦 ↔ ((if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧))) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦)))
108103, 104, 1073bitr4d 300 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦))
109 elioo2 12213 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦)))
11099, 14, 109sylancr 695 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦)))
111 df-3an 1039 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦) ↔ (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧)) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦))
112110, 111syl6bb 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧)) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦)))
113 mnflt 11954 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) ∈ ℝ → -∞ < (𝐹𝑧))
1149, 113jccir 562 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧)))
115114biantrurd 529 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) < 𝑦 ↔ (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧)) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦)))
116112, 115bitr4d 271 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹𝑧) < 𝑦))
117 elioo2 12213 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
11899, 14, 117sylancr 695 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
119 df-3an 1039 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦) ↔ (((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧)) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦))
120118, 119syl6bb 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧)) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
121 mnflt 11954 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺𝑧) ∈ ℝ → -∞ < (𝐺𝑧))
12212, 121jccir 562 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧)))
123122biantrurd 529 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) < 𝑦 ↔ (((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧)) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
124120, 123bitr4d 271 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐺𝑧) < 𝑦))
125116, 124anbi12d 747 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ ((𝐹𝑧) < 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
12698, 108, 1253bitr4d 300 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
127126pm5.32da 673 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)))))
128 anandi 871 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
129127, 128syl6bb 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)))))
130 elpreima 6335 . . . . . . 7 (𝐻 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
13171, 130syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
132 elpreima 6335 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
13375, 132syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
134 elpreima 6335 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
13579, 134syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
136133, 135anbi12d 747 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)))))
137129, 131, 1363bitr4d 300 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)))))
138 elin 3794 . . . . 5 (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))))
139137, 138syl6bbr 278 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)))))
140139eqrdv 2619 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))))
141 mbfima 23393 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
14287, 3, 141syl2anc 693 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
143 mbfima 23393 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ MblFn ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
14490, 1, 143syl2anc 693 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
145 inmbl 23304 . . . . 5 (((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol ∧ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
146142, 144, 145syl2anc 693 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
147146adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
148140, 147eqeltrd 2700 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
1497, 96, 148ismbfd 23401 1 (𝜑𝐻 ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   ∪ cun 3570   ∩ cin 3571  ifcif 4084   class class class wbr 4651   ↦ cmpt 4727  ◡ccnv 5111  dom cdm 5112   “ cima 5115   Fn wfn 5881  ⟶wf 5882  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  ℝcr 9932  +∞cpnf 10068  -∞cmnf 10069  ℝ*cxr 10070   < clt 10071   ≤ cle 10072  (,)cioo 12172  volcvol 23226  MblFncmbf 23377 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-of 6894  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-pm 7857  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-inf 8346  df-oi 8412  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-q 11786  df-rp 11830  df-xadd 11944  df-ioo 12176  df-ico 12178  df-icc 12179  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-fl 12588  df-seq 12797  df-exp 12856  df-hash 13113  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-clim 14213  df-sum 14411  df-xmet 19733  df-met 19734  df-ovol 23227  df-vol 23228  df-mbf 23382 This theorem is referenced by:  mbfpos  23412
 Copyright terms: Public domain W3C validator