Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmf 30140
 Description: A measurable function as a function with domain and codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmf.1 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
mbfmf.2 (𝜑𝑇 ran sigAlgebra)
mbfmf.3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))
Assertion
Ref Expression
mbfmf (𝜑𝐹: 𝑆 𝑇)

Proof of Theorem mbfmf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmf.3 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))
2 mbfmf.1 . . . . 5 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
3 mbfmf.2 . . . . 5 (𝜑𝑇 ran sigAlgebra)
42, 3ismbfm 30137 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇) ↔ (𝐹 ∈ ( 𝑇𝑚 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑇 (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)))
51, 4mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ ( 𝑇𝑚 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑇 (𝐹𝑥) ∈ 𝑆))
65simpld 475 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ( 𝑇𝑚 𝑆))
7 elmapi 7839 . 2 (𝐹 ∈ ( 𝑇𝑚 𝑆) → 𝐹: 𝑆 𝑇)
86, 7syl 17 1 (𝜑𝐹: 𝑆 𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1987  ∀wral 2908  ∪ cuni 4409  ◡ccnv 5083  ran crn 5085   “ cima 5087  ⟶wf 5853  (class class class)co 6615   ↑𝑚 cmap 7817  sigAlgebracsiga 29993  MblFnMcmbfm 30135 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-map 7819  df-mbfm 30136 This theorem is referenced by:  imambfm  30147  mbfmco  30149  mbfmco2  30150  mbfmvolf  30151  sibff  30221  sitgclg  30227  orvcval4  30345
 Copyright terms: Public domain W3C validator