MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmptcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmptcl 23305
Description: Lemma for the MblFn predicate applied to a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmptcl.1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbfmptcl.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
mbfmptcl ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfmptcl
StepHypRef Expression
1 mbfmptcl.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
2 mbff 23295 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
4 mbfmptcl.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
54ralrimiva 2965 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
6 dmmptg 5594 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
87feq2d 5990 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ))
93, 8mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
10 eqid 2626 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
1110fmpt 6338 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
129, 11sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
1312r19.21bi 2932 1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  cmpt 4678  dom cdm 5079  wf 5846  cc 9879  MblFncmbf 23284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-pm 7806  df-mbf 23289
This theorem is referenced by:  mbfss  23314  mbfneg  23318  mbfmulc2  23331  mbflim  23336  itgcnlem  23457  itgcnval  23467  itgre  23468  itgim  23469  iblneg  23470  itgneg  23471  iblss  23472  iblss2  23473  ibladd  23488  iblsub  23489  itgadd  23492  itgsub  23493  itgfsum  23494  iblabs  23496  iblabsr  23497  iblmulc2  23498  itgmulc2  23501  itgabs  23502  itgsplit  23503  bddmulibl  23506  itgcn  23510  ditgswap  23524  ditgsplitlem  23525  ftc1a  23699  ibladdnc  33085  itgaddnc  33088  iblsubnc  33089  itgsubnc  33090  iblabsnc  33092  iblmulc2nc  33093  itgmulc2nc  33096  itgabsnc  33097
  Copyright terms: Public domain W3C validator