MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmul 23399
Description: The product of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfmul (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmul
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 mbff 23300 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
4 ffn 6002 . . . 4 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → 𝐹 Fn dom 𝐹)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 Fn dom 𝐹)
6 mbfmul.2 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
7 mbff 23300 . . . . 5 (𝐺 ∈ MblFn → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
9 ffn 6002 . . . 4 (𝐺:dom 𝐺⟶ℂ → 𝐺 Fn dom 𝐺)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 Fn dom 𝐺)
11 mbfdm 23301 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
121, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
13 mbfdm 23301 . . . 4 (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
146, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ dom vol)
15 eqid 2621 . . 3 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
16 eqidd 2622 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
17 eqidd 2622 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
185, 10, 12, 14, 15, 16, 17offval 6857 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
19 elin 3774 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐺))
2019simplbi 476 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
21 ffvelrn 6313 . . . . . . . 8 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
223, 20, 21syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
2319simprbi 480 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
24 ffvelrn 6313 . . . . . . . 8 ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
258, 23, 24syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
2622, 25remuld 13892 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℜ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) = (((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))) − ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥)))))
2726mpteq2dva 4704 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))) − ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))))))
28 inmbl 23217 . . . . . . 7 ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ dom 𝐺 ∈ dom vol) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
2912, 14, 28syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
30 ovex 6632 . . . . . . 7 ((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))) ∈ V
3130a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))) ∈ V)
32 ovex 6632 . . . . . . 7 ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))) ∈ V
3332a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))) ∈ V)
3422recld 13868 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
3525recld 13868 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℜ‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
36 eqidd 2622 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))))
37 eqidd 2622 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))))
3829, 34, 35, 36, 37offval2 6867 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥)))))
3922imcld 13869 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℑ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
4025imcld 13869 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℑ‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
41 eqidd 2622 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))))
42 eqidd 2622 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))))
4329, 39, 40, 41, 42offval2 6867 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥)))))
4429, 31, 33, 38, 43offval2 6867 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) ∘𝑓 − ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))) − ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))))))
4527, 44eqtr4d 2658 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) = (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) ∘𝑓 − ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))))))
46 inss1 3811 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
47 resmpt 5408 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥))
493feqmptd 6206 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)))
5049, 1eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn)
51 mbfres 23317 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
5250, 29, 51syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
5348, 52syl5eqelr 2703 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn)
5422ismbfcn2 23312 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)))
5553, 54mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn))
5655simpld 475 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
57 inss2 3812 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
58 resmpt 5408 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥)))
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥))
608feqmptd 6206 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)))
6160, 6eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn)
62 mbfres 23317 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
6361, 29, 62syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
6459, 63syl5eqelr 2703 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn)
6525ismbfcn2 23312 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn)))
6664, 65mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn))
6766simpld 475 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn)
68 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))
6934, 68fmptd 6340 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
70 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))
7135, 70fmptd 6340 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
7256, 67, 69, 71mbfmullem 23398 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
7355simprd 479 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
7466simprd 479 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn)
75 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥)))
7639, 75fmptd 6340 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
77 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))
7840, 77fmptd 6340 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
7973, 74, 76, 78mbfmullem 23398 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
8072, 79mbfsub 23335 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) ∘𝑓 − ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))))) ∈ MblFn)
8145, 80eqeltrd 2698 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
8222, 25immuld 13893 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℑ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) = (((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))) + ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥)))))
8382mpteq2dva 4704 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))) + ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))))))
84 ovex 6632 . . . . . . 7 ((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))) ∈ V
8584a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))) ∈ V)
86 ovex 6632 . . . . . . 7 ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))) ∈ V
8786a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))) ∈ V)
8829, 34, 40, 36, 42offval2 6867 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥)))))
8929, 39, 35, 41, 37offval2 6867 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥)))))
9029, 85, 87, 88, 89offval2 6867 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) ∘𝑓 + ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))) + ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))))))
9183, 90eqtr4d 2658 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) = (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) ∘𝑓 + ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))))))
9256, 74, 69, 78mbfmullem 23398 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
9373, 67, 76, 71mbfmullem 23398 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
9492, 93mbfadd 23334 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) ∘𝑓 + ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))))) ∈ MblFn)
9591, 94eqeltrd 2698 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
9622, 25mulcld 10004 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
9796ismbfcn2 23312 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)))
9881, 95, 97mpbir2and 956 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ MblFn)
9918, 98eqeltrd 2698 1 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  cmpt 4673  dom cdm 5074  cres 5076   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848  cc 9878  cr 9879   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210  cre 13771  cim 13772  volcvol 23139  MblFncmbf 23289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-rest 16004  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-cmp 21100  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-mbf 23294  df-itg1 23295  df-0p 23343
This theorem is referenced by:  bddmulibl  23511
  Copyright terms: Public domain W3C validator